Логика как наука. История развития логики (стр. 11 из 13)

Х Z

У неХ

Z ^не^Z

неУ

F(X,Y,Z) = ((X или У) или (Z или неХ)) и (У и (неZ и неУ)).

Задача 4 Представьте, что к приведенной схеме подключили источник питания и прибор для измерения тока, состояние контактов задается таблицей, определите показания прибора (есть ток или нет):

А В С А

1 0 0 В

0 1 0 С

1 1 1

Задание

а) б)

x ch

У Y

Z ^Z

в)

Задача 2. Судейская коллегия состоящая из трех членов, выносит решение большинством голосов при тайном голосовании. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена «за» производилось нажатием кнопки (включением выключателя) и в случае принятия решения загоралась сигнальная лампа.

Задача 3. Представьте, что к приведенной схеме подключили источник питания и прибор для измерения тока, состояние контактов задается таблицей, определите показания прибора (есть ток или нет):

А неА В С

1 0 1 0

0 1 0 0

1 0 1 1

Законы логики

Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной короткой и понятной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания.

Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований.

Законы логики

№ п/п	Закон логики	Математическая запись	Название закона
1	А = А(А=А)	Закон тождества
2	__ А & А = 0	__ А * А = 0	Закон непротиворечия
3	_{__} А v A = 1	_{__} A + A = 1	Закон исключающего третьего
4	₌₌ А = А	Закон двойного отрицания
5	А & 0 = 0; A v 0 = A	А * 0 = 0; А + 1 = А
6	A & 1 =A; A v 1 = 1	A * 1 = A; A + 1 = 1
7	A & A = A; A v A =A	A * A =A; A + A =A
8	__ A v A =1	__ A + A =1	Законы Моргана
9	________ __ (A B) =A & B
10	__ A B = A v B
11	A & (A v B) = A	A * (A + B) = A	Закон поглощения
12	A v A & B =A	A + A * B =A	Закон поглощения
13	__ __ A & (A v B) = A & B	__ __ A * (A +B) = A * B
14	__ A v A & = A v B	__ A + A * B = A + B
15	(A v B) v C = A v (B v C) (A & B) & C = A & (B & C)	(A + B) + C = A + (B + C) (A * B) * C = A * (B * C)	Правило ассоциативности
16	(A & B) v (A & C) = A & (B v C) (A v B) & (A v C) = A v (B & C)	(AB) + (AC) = A(B+C) (A+B)(A+C) = A+(B*C)	Правило дистрибутивности
17	A v A = A A & A = A	A + A = A A * A = A	Правило иденпотентности
18	A v B = B v A A & B = B & A	A + B = B + A A * B = B * A	Правило коммутативности
19	____ __ __ A = B=A&BvA&B = (A+B)&(A+B)

Пример:

________________

Упростите логическое выражение _____

F = (A v B) (B v C)

Это логическое выражение необходимо привести к нормальной форме, т.к. в нём присутствует импликация и отрицание логической операции.

Избавимся от импликации и отрицания.

Воспользуемся формулой (9). Получится:

_________________

______ _========

(A v B) (B v C) = (A v B) & (B v C))

Применим закон двойного отрицания (4). Получим:

_=======

(A v B) & (B v C) = (A v B) & (B v C)

Применим правило дистрибутивности (16). Получим:

(A v B) & (B v C) = (A v B) & B v (A v B) & C

Применим закон коммутативности (18) и дистрибутивности (16). Получим:

(A v B) & B v (A v B) & C = A & B v B & B v A & C v B v C

5. Применим (7). Получим:

A & B v B & B v A & C v B & C = A & B v B v A & C v B & C

6.Применим (16), т.е. вынесем за скобки В. Получим:

A & B v B v A & C v B & C = B &(A v 1) v A & C v B & C

7. Применим (6). Получим:

B &(A v 1) v A & C v B & C =B v A & C v B & C

8. Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:

B v A & C v B & C = B & (1 v C) v A & C

9. Применим (6). и получим ответ:

B & (1 v C) v A & C = B v A & C.

Ответ: F = B v A & C

Закрепление изученного материала:

Упростите выражения:

_____ _____

F = A & B v B v C;
F = (A B) v (B A);

F = A & C v A & C;

Ответы:

_____ _____ __ _ _ __ __ __ _ _ _

1) F = A & B v B v C = A v B v B & C = B( 1v C) v A = A v B;

F = ((A B) v (B A) = A v B v B v A = (A v A) v (B v B) = 1 v 1 =1;