Логика как наука. История развития логики (стр. 2 из 13)
Например, даны четыре простых высказывания:
На улице идет дождь;
На улице светит солнце;
На улице пасмурная погода;
На улице идет снег.
Составьте два сложных высказывания, одно из которых в любой ситуации будет ложно, а другое – всегда истинно, обязательно используя все предложенные простые высказывания.
Ответ: в одном случае объединим все высказывания союзом ИЛИ и получим истинное высказывание, в другом используя союз И, получим высказывание всегда ложное.
Эта задача может играть роль своеобразного теста – правильно ли понят материал, можно ли переходить к более сложным задачам.
В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно – 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А,В,С.
Например:
У кошки четыре ноги. А=1
Москва столица Франции В=0
Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.
Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некий функциональный преобразователь.
Х 
У F(X,Y,Z)Z
Причем числа на входе (Х,У,Z) – значения входных логических переменных, а число на выходе – значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.
Значение логической функции для разных сочетаний входных переменных или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности. Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле.
Q=2n
где n – количество входных переменных.
В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Связки, И, ИЛИ и Не заменяются логическими операциями: коньюнкцией, дизьюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию. Также имеются дополнительные логические операции импликация и эквивалентность.
Логическая операция КОНЬЮНКЦИЯ иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ.
- соответствует союзу И,
- в программировании AND
- обозначается знаком ^
- обозначение логического элемента соответствующего логической операции И, соответствует знак &?
Коньюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных коньюнкцией.
A^B^C = 1, только если А=1, В=1, С=1..
Таблица истинности коньюнкции имеет следующий вид:
 | |
А В А^В
0 0 0
0 1 0
1 1 1
1 0 0
Из таблицы истинности следует, что операция коньюнкции (логическая операция «И») – это логическое умножение, которое ничем не отличается от традиционного умножения в обычной алгебре.
Например:
Пусть есть суждения А= «Сегодня хорошая погода»
В= «Коля пошел кататься на лыжах»
Тогда коньюнкция А^В есть суждение:
Х = «Сегодня хорошая погода и Коля пошел кататься на лыжах»
Если хотя бы одно из этих суждений ложно, то естественно построенное выше суждение Х ложно.
Логическая операция ДИЗЬЮНКЦИЯ – иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
- соответствует союзу ИЛИ,
- в логических элементах обозначается 1
- в программировании соответствует OR
- обозначается знаком \/
Дизьюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизьюнкцией.
A\/B\/C = 0, только если А=0, В=0, С=0
Таблица истинности дизьюнкции имеет следующий вид:
 | |
А В А\/B0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Из таблицы истинности следует, что операция, дизьюнкции (операция «ИЛИ») – логическое сложение – немного но отличается от обычного алгебраического сложения. А именно: отличается лишь последней строкой: 1+1=1. Результат этот также не совпадает со сложением двоичных чисел ( 1+1=10). Это следствие того, что 1 является не числом «один», а только символом смысл которого был пояснен выше. Если имеются две истинные величины, то результатом их сложения будет истинная величина, но не может быть ни дважды истинно, ни полуистинно! Именно поэтому 1+1=0.
Например: пусть даны два суждения:
А= «Снег пойдет ночью»
В= «Снег пойдет утром»
Тогда суждение Х=А+В= «Снег пойдет ночью или утром»
В этом примере связка «ИЛИ» играет объединяющую роль.
Приведем другой пример. Даны суждения:
А= «Он придет сегодня»
В= «Он придет завтра»
Суждение Х=А+В = «Он придет сегодня или завтра»
В этом случае связка «ИЛИ» играет только разъединительную роль (её можно заменить разделяющим либо).
Составное суждение со связкой «ИЛИ» считается истинным, если истинно хотя бы одно из составных суждений, и считается ложным, если ложны все его составляющие.
Логическая операция ИНВЕРСИЯ – ОТРИЦАНИЕ – операция «НЕ»
-
в программировании «NOT»- обозначается неА или употребляется символ «-« над А
Имея суждение А, можно образовать новое суждение, которое читается как «неА» или неверно, что А.
Таблица истинности выглядит следующим образом:
А А  |
1 0
0 1
так как возможны только два значения переменной, то всегда
 | |
1 = 0 и 0 = 1
Пусть суждение А= «Мы любим информатику»
А = «Мы не любим информатику»  |
Отрицание А имеет значение «истинно», если исходное суждение ложно. И
наоборот, А имеет значение «ложно», если исходное суждение А истинно.Логическая операция ИПЛИКАЦИЯ (от латинского implication – тесно связывать) – Логическое следование
Обозначается так: А В, А – условие. В – следствие.
Если А, то В:
Таблица истинности
| А | В |  А В |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда из истинного высказывания (А) следует ложное следствие (В)
Логическая операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (от лат. Aequivalens – равноценное) – Логическое равенство.
Обозначается так: А В Таблица истинности
| А | В |   А В |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.