Некоторые задачи оптимизации в экономике (стр. 10 из 12)
На множестве потребительских наборов (x1,x2) определена функция u(x1,x2) (называемая функцией полезности потребителя), значение u(x1,x2) которой на потребительском наборе (x1,x2)равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Потребительскую оценку u(x1,x2) набора (x1,x2) принято называть уровнем (или степенью) удовлетворения потребительского индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор (x1,x2). Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А
предпочтительнее набора В, то u(А)>u(В).Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:
1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведёт к росту потребительской оценки, т.е. если x 
>x 
, то u(x ,x2)> u(x ,x2);
если x 
>x 
, то u(x1, x )> u(x1, x ).
Иначе говоря, u 
(x1,x2)=u 
>0, u 
(x1,x2)=u 
>0.
Первые частные производные u и u называются предельными полезностями первого и второго продуктов соответственно.
2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объём его потребления растёт (закон убывания предельной полезности). Из свойства второй производной следует, что u 
(x1,x2)<0, u 
(x1,x2)<0.
3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растёт количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Если блага могут замещать друг друга в потреблении, свойство не выполняется. u 
(x1,x2)=u12>0, u 
(x1,x2)=u21>0.
Линия, соединяющая потребительские наборы (x1,x2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линийбезразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей не пересекаются и не касаются. Чем выше и правее расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребностей она соответствует. Условия 1-3 означают, что линия безразличия убывает и является выпуклой вниз.
Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х 
, х 
), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.
Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продуктыне могут превышать денежного дохода, т.е. p1x1+p2x2≤Q, где p1 и p2 –рыночные цены, а Q – доход потребителя, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины p1, p2 и Q заданы.
Задача потребительского выбора имеет вид:
u(x1,x2)→max
при ограничении p1x1+p2x2≤Q
и условие x1≥0, x2≥0.
Допустимое множество (т.е. множество наборов продуктов, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии всё более высокого уровня полезности до тех пор, пока эти линии ещё имеют общие точки с допустимым множеством.
) и ( 
,0).