r > 0, следовательно, связь прямая.
|r|>0.65 – связь тесная
= 11.65% = 0.90Поскольку
>r, то кривая лучше аппроксимирует зависимость3. Логарифмическая зависимость
y = a + b lnx
После замены lnx=z получим линейную зависимость, формулы для вычисления коэффициентов которой известны. После обратной замены получим:
lnX | Y | lnXY | (lnX)^2 | Y^2 | ||
1 | 12 | 2.48 | 130 | 323.04 | 6.17 | 16900 |
2 | 13 | 2.56 | 170 | 436.04 | 6.58 | 28900 |
3 | 12 | 2.48 | 110 | 273.34 | 6.17 | 12100 |
4 | 11 | 2.40 | 121 | 290.15 | 5.75 | 14641 |
5 | 15 | 2.71 | 130 | 352.05 | 7.33 | 16900 |
6 | 12 | 2.48 | 120 | 298.19 | 6.17 | 14400 |
7 | 11 | 2.40 | 110 | 263.77 | 5.75 | 12100 |
8 | 8 | 2.08 | 70 | 145.56 | 4.32 | 4900 |
9 | 12 | 2.48 | 140 | 347.89 | 6.17 | 19600 |
10 | 12 | 2.48 | 120 | 298.19 | 6.17 | 14400 |
11 | 13 | 2.56 | 150 | 384.74 | 6.58 | 22500 |
12 | 12 | 2.48 | 120 | 298.19 | 6.17 | 14400 |
13 | 14 | 2.64 | 200 | 527.81 | 6.96 | 40000 |
14 | 13 | 2.56 | 130 | 333.44 | 6.58 | 16900 |
15 | 15 | 2.71 | 240 | 649.93 | 7.33 | 57600 |
16 | 16 | 2.77 | 200 | 554.52 | 7.69 | 40000 |
17 | 17 | 2.83 | 290 | 821.63 | 8.03 | 84100 |
18 | 18 | 2.89 | 290 | 838.21 | 8.35 | 84100 |
19 | 17 | 2.83 | 200 | 566.64 | 8.03 | 40000 |
å | 48.86 | 3041 | 8003.32 | 126.34 | 554441 |
a= -542.07
b=273.01
Уравнение аппроксимирующей логарифмической зависимости
X | lnX | Y | |||||
1 | 12 | 2.48 | 130 | 136.33 | 0.05 | 40.09 | 903.16 |
2 | 13 | 2.56 | 170 | 158.18 | 0.07 | 139.61 | 98.95 |
3 | 12 | 2.48 | 110 | 136.33 | 0.24 | 693.36 | 2505.27 |
4 | 11 | 2.40 | 121 | 112.58 | 0.07 | 70.95 | 1525.11 |
5 | 15 | 2.71 | 130 | 197.25 | 0.52 | 4522.87 | 903.16 |
6 | 12 | 2.48 | 120 | 136.33 | 0.14 | 266.73 | 1604.21 |
7 | 11 | 2.40 | 110 | 112.58 | 0.02 | 6.64 | 2505.27 |
8 | 8 | 2.08 | 70 | 25.64 | 0.63 | 1968.20 | 8109.48 |
9 | 12 | 2.48 | 140 | 136.33 | 0.03 | 13.46 | 402.11 |
10 | 12 | 2.48 | 120 | 136.33 | 0.14 | 266.73 | 1604.21 |
11 | 13 | 2.56 | 150 | 158.18 | 0.05 | 66.98 | 101.06 |
12 | 12 | 2.48 | 120 | 136.33 | 0.14 | 266.73 | 1604.21 |
13 | 14 | 2.64 | 200 | 178.42 | 0.11 | 465.85 | 1595.79 |
14 | 13 | 2.56 | 130 | 158.18 | 0.22 | 794.35 | 903.16 |
15 | 15 | 2.71 | 240 | 197.25 | 0.18 | 1827.37 | 6391.58 |
16 | 16 | 2.77 | 200 | 214.87 | 0.07 | 221.18 | 1595.79 |
17 | 17 | 2.83 | 290 | 231.42 | 0.20 | 3431.25 | 16886.32 |
18 | 18 | 2.89 | 290 | 247.03 | 0.15 | 1846.60 | 16886.32 |
19 | 17 | 2.83 | 200 | 231.42 | 0.16 | 987.41 | 1595.79 |
å | 48.86 | 3041 | 3.18 | 17896.35 | 67720.95 |
r=0.86
r > 0, следовательно, связь прямая.
|r|>0.65 – связь тесная
=16.71% =0.864. Вывод о возможности использования модели для прогнозирования
Для аппроксимации было использовано 3 вида зависимостей: прямолинейная, параболическая, логарифмическая.
прямолинейная | параболическая | логарифмическая | |
Уравнение | |||
r | 0.88 | 0.88 | 0.86 |
0.88 | 0.90 | 0.86 | |
14.17 % | 11.65% | 16.71% |
Во всех случаях связь прямая и тесная. Точнее всего аппроксимирует парабола, поскольку
>r, минимальна и равна 11.65%.Прямая аппроксимирует зависимость менее точно, т.к.
больше - 14.17 %.Наименее точно аппроксимирует логарифмическая зависимость, т.к.
максимальна и равна 16.71%.Вывод: наилучшая модель для прогнозирования – параболическая, наихудшая – логарифмическая. Это объясняется тем, что выпуклость данных кривых различна.
Задача 2
Используем линейную зависимость. Коэффициенты прямой находятся по формулам
X | Y | XY | X^2 | Y^2 | |
1 | 6.3 | 3.2 | 20.16 | 39.69 | 10.24 |
2 | 1.1 | 0.5 | 0.55 | 1.21 | 0.25 |
3 | 2.9 | 1.2 | 3.48 | 8.41 | 1.44 |
4 | 2.5 | 1 | 2.5 | 6.25 | 1 |
5 | 2.3 | 0.5 | 1.15 | 5.29 | 0.25 |
6 | 4.7 | 1.6 | 7.52 | 22.09 | 2.56 |
7 | 2.5 | 0.8 | 2 | 6.25 | 0.64 |
8 | 3.6 | 1.3 | 4.68 | 12.96 | 1.69 |
9 | 5 | 2.1 | 10.5 | 25 | 4.41 |
10 | 0.7 | 0.3 | 0.21 | 0.49 | 0.09 |
11 | 7 | 3.2 | 22.4 | 49 | 10.24 |
12 | 1 | 0.5 | 0.5 | 1 | 0.25 |
13 | 3.1 | 1.4 | 4.34 | 9.61 | 1.96 |
14 | 2.8 | 1.8 | 5.04 | 7.84 | 3.24 |
15 | 1.4 | 0.3 | 0.42 | 1.96 | 0.09 |
16 | 1 | 0.4 | 0.4 | 1 | 0.16 |
17 | 5.1 | 2.3 | 11.73 | 26.01 | 5.29 |
18 | 2.6 | 1 | 2.6 | 6.76 | 1 |
19 | 3.8 | 1.3 | 4.94 | 14.44 | 1.69 |
20 | 2.5 | 1.3 | 3.25 | 6.25 | 1.69 |
61.9 | 26 | 108.37 | 251.51 | 48.18 |
Поле корреляции:
N=20
a = -0.14
b= 0.47 => y = -0.14 + 0.47x
X | Y | |||||
1 | 6.3 | 3.2 | 2.79 | 0.13 | 0.17 | 3.61 |
2 | 1.1 | 0.5 | 0.37 | 0.26 | 0.02 | 0.64 |
3 | 2.9 | 1.2 | 1.21 | 0.01 | 0.00 | 0.01 |
4 | 2.5 | 1 | 1.02 | 0.02 | 0.00 | 0.09 |
5 | 2.3 | 0.5 | 0.93 | 0.86 | 0.18 | 0.64 |
6 | 4.7 | 1.6 | 2.05 | 0.28 | 0.20 | 0.09 |
7 | 2.5 | 0.8 | 1.02 | 0.28 | 0.05 | 0.25 |
8 | 3.6 | 1.3 | 1.54 | 0.18 | 0.06 | 4.93038E-32 |
9 | 5 | 2.1 | 2.19 | 0.04 | 0.01 | 0.64 |
10 | 0.7 | 0.3 | 0.19 | 0.38 | 0.01 | 1 |
11 | 7 | 3.2 | 3.12 | 0.03 | 0.01 | 3.61 |
12 | 1 | 0.5 | 0.32 | 0.35 | 0.03 | 0.64 |
13 | 3.1 | 1.4 | 1.30 | 0.07 | 0.01 | 0.01 |
14 | 2.8 | 1.8 | 1.16 | 0.35 | 0.41 | 0.25 |
15 | 1.4 | 0.3 | 0.51 | 0.70 | 0.04 | 1 |
16 | 1 | 0.4 | 0.32 | 0.19 | 0.01 | 0.81 |
17 | 5.1 | 2.3 | 2.23 | 0.03 | 0.00 | 1 |
18 | 2.6 | 1 | 1.07 | 0.07 | 0.00 | 0.09 |
19 | 3.8 | 1.3 | 1.63 | 0.25 | 0.11 | 4.93038E-32 |
20 | 2.5 | 1.3 | 1.02 | 0.21 | 0.08 | 4.93038E-32 |
61.9 | 26 | 4.69 | 1.39 | 14.38 |
Коэффициент корреляции r находится по формуле:
r
= 0.95r > 0, следовательно, связь прямая.
|r|>0.65 – связь тесная
Корреляционное отношение
= 0.95Точность аппроксимации
= 23.47%