Экономико математические методы и модели 3 (стр. 1 из 5)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра: Высшей математики

Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

Вариант - 12

Студентки Финансово-экономического факультета

Заочного отделения

Группы У06-ЭПз-1

Галай Натальи Михайловны

Преподаватель:

Сороговец И.Б.

Новополоцк, 2008 г.

Содержание

Задача 1-1

Задача 2-1

Задача 3-1

Задача 4-2

Задача 5-2

Задача 1-1

По условиям контракта торгово-посредническая фирма должна поставить каждому из двух покупателей B_j (j = 1, 2) два вида товаров T_k (k = 1, 2) в количестве b_{j k} по цене р_{j k} за единицу товара. Эти товары можно закупить у трех производителей A_i (i = 1, 2, 3) по цене s_{i k} за единицу товара. Известны: количества a_{i k} товара T_k, имеющегося у производителя A_i, а также стоимости c_{i j k} перевозки единицы товара T_k от производителя A_i к покупателю B_j.

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Построить математическую модель поставленной задачи, максимизирующую прибыль фирмы от реализации всех сделок в виде задачи линейного программирования.

2. Методом потенциалов найти оптимальный план закупок, перевозок и поставок по каждому товару от каждого производителя к каждому покупателю, а также сумму прибыли от реализации этого плана.

Исходные данные:

a11	a12	a21	a22	a31	a32
400	410	480	550	420	480

s11	s12	s21	s22	s31	s32
2	3	5	5	2	3

b11	b12	b21	b22
480	130	270	320

c111	c112	c121	c122	c211	c212	c221	c222	c311	c312	c321	c322
2	2	2	2	3	2	1	2	3	2	2	1

p11	p12	p21	p22
16	14	15	15

РЕШЕНИЕ:

1) Для составления математической модели введем неизвестные

– количество товара , покупаемое у производителя для перевозки потребителю . Индексы: i = 1, 2, 3 – номер производителя продукции;

j = 1, 2 – номер потребителя продукции; k = 1, 2 – номер товара. Найдем тарифы

, т.е. прибыли на одну единицу товара , покупаемое у производителя для продажи потребителю . Эти прибыли состоят из цены продажи 1 единицы товара за вычетом цены покупки и стоимости перевозки, т.е. .

f₁₁₁ = p₁₁ – s₁₁ – c₁₁₁ = 16 – 2 – 2 = 12;

f₁₁₂ = p₁₂ – s₁₂ – c₁₁₂ = 14 – 3 – 2 = 9;

f₁₂₁ = p₂₁ – s₁₁ – c₁₂₁ = 15 – 2 – 2 = 11;

f₁₂₂ = p₂₂ – s₁₂ – c₁₂₂ = 15 – 3 – 2 = 10;

f₂₁₁ = p₁₁ – s₂₁ – c₂₁₁ = 16 – 5 – 3 = 8;

f₂₁₂ = p₁₂ – s₂₂ – c₂₁₂ = 14 – 5 – 2 = 7;

f₂₂₁ = p₂₁ – s₂₁ – c₂₂₁ = 15 – 5 – 1 = 9;

f₂₂₂ = p₂₂ – s₂₂ – c₂₂₂ = 15 – 5 – 2 = 8;

f₃₁₁ = p₁₁ – s₃₁ – c₃₁₁ = 16 – 2 – 3 = 11;

f₃₁₂ = p₁₂ – s₃₂ – c₃₁₂ = 14 – 3 – 2 = 9;

f₃₂₁ = p₂₁ – s₃₁ – c₃₂₁ = 15 – 2 – 2 = 11;

f₃₂₂ = p₂₂ – s₃₂ – c₃₂₂ = 15 – 3 – 1 = 11.

Значение полученных коэффициентов приведены в таблице 1.1:

fijk	f111	f112	f121	f122	f211	f212	f221	f222	f311	f312	f321	f322
тариф	12	9	11	10	8	7	9	8	11	9	11	11

Прибыль фирмы представляется выражением

, где сумма берется по всем возможным значениям индексов i, j, k. По условию, выражение F следует максимизировать, т.е. F является целевой функцией поставленной задачи. Так как операции над товарами и можно производить по отдельности и выражение F представляется в виде суммы двух слагаемых , сгруппированных по товарам , , то поставленная задача сводится к решению двух оптимизационных задач. Ограничения для неизвестных диктуются наличием соответствующих товаров у производителей и потребностью в них покупателей. В результате приходим к двум задачам линейного программирования, которые относятся к задачам транспортного типа:

Задача 1 (по товару

)

maxF₁ = 12 * X₁₁₁ + 11 * X₁₂₁ + 8 * X₂₁₁ + 9 * X₂₂₁ + 11 * X₃₁₁ + 11 * X₃₂₁

X₁₁₁ + X₂₁₁ + X₃₁₁ ≤ b₁₁ ≤ 480 X₁₂₁ + X₂₂₁ + X₃₂₁ ≤ b₂₁ ≤ 270

X₁₁₁ + X₁₂₁ ≤ a₁₁ ≤ 400 X₂₁₁ + X₂₂₁ ≤ a₂₁ ≤ 480 X₃₁₁ + X₃₂₁ ≤ a₃₁ ≤ 420

X_ij1 ≥ 0

Задача 2 (по товару

)

maxF₂ = 9 * X₁₁₂ + 10 * X₁₂₂ + 7 * X₂₁₂ + 8 * X₂₂₂ + 9 * X₃₁₂ + 11 * X₃₂₂

X₁₁₂ + X₂₁₂ + X₃₁₂ ≤ b₁₂ ≤ 130 X₁₂₂ + X₂₂₂ + X₃₂₂ ≤ b₂₂ ≤ 320

X₁₁₂ + X₁₂₂ ≤ a₁₂ ≤ 410 X₂₁₂ + X₂₂₂ ≤ a₂₂ ≤ 550 X₃₁₂ + X₃₂₂ ≤ a₃₂ ≤ 480

X_ij2 ≥ 0

Как видно, решение поставленной задачи сводится к решению двух задач транспортного типа.

2) Для решения задач 1, 2 методом потенциалов, сопоставим суммарное наличие каждого товара у производителей и суммарные потребности покупателей.

= 400 + 480 + 420 = 1300, = 480 + 270 = 750;

1300 – 750 = 550

Наличие товара Т₁ превышает потребности покупателей. Вводим фиктивного покупателя В₃ с потребностью b₃₁ = 550.

= 410 + 550 + 480 = 1440, = 130 + 320 = 990;

1440 – 450 = 990

Наличие товара Т₂ превышает потребности покупателей. Вводим фиктивного покупателя В₃ с потребностью b₃₂ = 990.

Получаем закрытые модели двух транспортных задач. Для их решения составляем две таблицы. В верхних правых углах клеток

выписаны тарифы и . Для фиктивных производителей и покупателей тарифы равны нулю. Последние строки и столбцы таблиц служат для записи потенциалов.

Таблица 1.2 (к задаче 1)

Производители	Покупатели
	B1	B2	B3	ai1	ui
A1	12400	1112	01	400	1
A2	811	911	0480	480	0
A3	1180	11270	070	420	0
bj1	480	270	550	1300	–
vj	11	11	0	–	–

Таблица 1.3 (к задаче 2)

Производители	Покупатели
	B1	B2	B3	ai1	ui
A1	9130	1011	0280	410	0
A2	79	811	0550	550	0
A3	99	11320	0160	480	0
bj1	130	320	990	1440	–
vj	9	11	0	–	–

Начальные планы распределения товаров определены по методу максимальной прибыли, т.е. в первую очередь заполнялись по максимуму клетки с наибольшими тарифами. Более конкретно, просматривая таблицу 1.2, замечаем, что максимальный тариф 12 стоит в клетке (1,1). В эту клетку ставим число 400. При этом запасы производителя А₁ исчерпан. Далее, в клетку (3,1) ставим 80, а в клетку (3,2) ставим 270. Из запасов производителя А₃ осталось 70, так как 420-80-270=70, ставим их в клетку (3,3). Потребность покупателей В₁ и В₂ в товарах исчерпаны, следовательно, оставшиеся 480 товаров производителя А₂ ставим в клетку (2,3). При этом товар

производителей полностью распределён.