Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство (стр. 1 из 5)

Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ = 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица 1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	2	13	14	15	16
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30	34	44	52	33	39	48	58	36

Решение

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

, (1)

где k – период упреждения;

Y_р(t) — расчетное значение экономического показателя для t-гo периода;

a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

; (2)

; (3)

. (4)

Параметры сглаживания a₁, a₂ и a₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

. (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 6 - 9:

; (6)

; (7)

; (8)

. (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) и b(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:

Таблица 2

t		Y(t)	t-tcp	Y-Ycp	(t-tcp)2	(Y-Ycp)(t-tcp)
1		28	-3,5	-7,625	12,25	26,6875
2		36	-2,5	0,375	6,25	-0,9375
3		43	-1,5	7,375	2,25	-11,0625
4		28	-0,5	-7,625	0,25	3,8125
5		31	0,5	-4,625	0,25	-2,3125
6		40	1,5	4,375	2,25	6,5625
7		49	2,5	13,375	6,25	33,4375
8		30	3,5	-5,625	12,25	-19,6875
S	36	285	0	0	42	36,5

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Y_p(t)=31,714+0,869·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Y_р(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.

Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30
Yp(t)	32,583	33,452	34,321	35,190	306,060	36,929	37,798	38,667

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Y_р(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3) = [ Y(1) / Y_p(1) + Y(5) / Y_p(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2) = [Y(2) / Y_p(2) + Y(6) / Y_p(6) ] / 2 = 1,0797;

F(-1) = [Y(3) / Y_p(3) + Y(7) / Y_p(7) ] / 2 = 1,2746;

F(0) = [Y(4) / Y_p(4) + Y(8) / Y_p(8) ] / 2 = 0,7858.

Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

Из условия задачи имеем параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3. Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=l.

Из уравнения 1, полагая что t=0, k=1, находим Y_р(1):

Из уравнений 2 - 4, полагая что t=1, находим:

;

;

.

Аналогично рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2: