Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб посо­бие для студентов пед ин-тов по спец. 2104 «Математика» и21056 «Физика» /А. (стр. 15 из 21)

На этапе закрепления формулировки теоремы о трех перпендикулярах можно выяснить, является ли обязательным требование прохождения прямой, лежащей в плоскости, через основание наклонной и принадлежности плоскости PCD. Получается более широкая формулировка теоремы.

Узнавание теоремы о трех перпендикулярах в различных ситуациях может быть организовано на задачах:

1. SABC- пирамида с высотой SO. OD – перпендикуляр к АС. Доказать, что SD – высота боковой грани.

2. К плоскости треугольника АВС из центра О вписанной окружности проведен перпендикуляр ОК. Окружность касается сторон АС, ВС и АВ соответственно в точках D, E, F. Определить взаимное положение прямых KD и АС, ВС и КЕ, АВ и KF.

3. На изображении куба построить несколько прямых, перпендикулярных диагонали куба.

Узнаванию теорем в практических ситуациях, в частности теоремы о трех перпендикулярах, будет способствовать выполнение задания: выяснить, какие условия несущественны для применения теоремы, что можно варьировать в условиях задач, решаемых с помощью рассматриваемой теоремы.

Еще один этап, рассматриваемый нами как этап изучения теоремы, - этап систематизации знаний. Известно, что никакой факт нельзя считать усвоенным, пока он не занял определенного места в имеющейся системе знаний. Понимая взаимосвязи между теоремами, ученик может восстановить самостоятельно забытые формулировки теорем, формулы. Для систематизации теорем важно выяснить место теоремы в системе других сведений: признаком или свойством некоторого понятия является теорема, следствием каких теорем она является и что является ее следствиями. Например, нельзя считать знание теоремы косинусов систематизированным, если учащиеся не понимают, что теорема Пифагора – частный случай этой теоремы. Для выяснения взаимосвязей между теоремами, для запоминания способов доказательства теорем полезно строить генеалогические деревья зависимостей между теоремами, например, для теоремы о косинусе разности двух углов такая зависимость может выглядеть следующим образом:

Такая работа, особенно на начальных этапах обучения геометрии, способствует пониманию дедуктивного характера построения самой геометрии.

Наличие всех рассмотренных этапов при обучении каждой теореме требует большого расхода времени. И в полном, развернутом виде все этапы могут быть представлены лишь в отдельных, удобных для этого случаях. А в различных конкретных ситуациях на первый план выдвигается то один, то другой этап, предпочтение отдается то поиску формулировки, то обучению записи полученного доказательства, то поиску идеи доказательства, то исследованию – в зависимости от требований ситуации.

Трудности и ошибки учащихся при применении теорем те же, что и при решении задач. Очень распространенной ошибкой являются смешивание определений и теорем, признаков и свойств понятий; использование вместо прямой теоремы обратной и наоборот; использование в доказательстве теоремы, которую предстоит доказать; доказательство того, что дано в теореме; использование недоказанных утверждений и другие.

Все эти ошибки одного порядка – непонимание логики построения курса, логических взаимосвязей между элементами теории. В этих условиях особое значение приобретают выполнение заданий на систематизацию понятий и теорем, выяснение логики построения формулировки и доказательства теорем. При исправлении логических ошибок учащихся необходимо учесть следующую рекомендацию: замене неверных ответов на верные должны предшествовать совместный анализ учителем и учащимися неверных ответов и выявление допущенных ошибок. Обучение доказательству, выявление допущенных при доказательстве ошибок – составная часть важнейшей задачи развития логического мышления.

Выделим возможные уровни усвоения учащимися теорем. Учащийся: 1) правильно формулирует теорему, понимает каждое слово в формулировке; 2) может привести свой пример на применение формулировки; 3) может повторить доказательство; 4) понимает идею и план доказательства, может варьировать обозначения, чертеж, метод доказательства; 5) узнает и применяет теорему в знакомой ситуации; 6) узнает и применяет теорему в незнакомой ситуации.

Приведенные уровни усвоения теоремы являются перечислением дидактических целей – целей обучения, которые учитель ставит на отдельных уроках по изучению той или иной теоремы. В соответствии с выделенными целями строится урок – выбираются методы и формы работы, строятся системы упражнений.

Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке

Приведем перечень основных действий, выполнение которых поможет учителю при подготовке к доказательству теорем на уроке.

1. Анализ формулировки теоремы. Выделение условия и заключения теоремы. Выяснение сущности каждого элемента формулировки.

2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значения теоремы в системе теорем раздела и всего курса.

3. Применение аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и последовательность доказательства, необходимость тех или иных дополнительных построений.

4. Выяснение метода, идеи, приема и других особенностей доказательства.

5. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы.

6. Выявление других возможных способов доказательства.

7. Расчленение доказательства теоремы на отдельные части, на отдельные логические шаги. Составление плана доказательства. Рациональная запись доказательства.

8. Выявление понятий, предложений, на которых основано доказательство теоремы. Выделение предложений, требующих повторения.

9. Составление содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений и заданий, подготавливающих учащихся к ее восприятию.

10. Подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих ее связь с другими предложениями.

В результате анализа теоремы и ее доказательства необходимо сделать вывод о методике изучения рассматриваемой теоремы на уроке, о целесообразности применения тех или иных методов обучения.

Занятие № 8. Тема «Организация обучения решению математических задач».

Литература

1. Габович, И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач /И.Г. Габович. – М.: Просвещение, 1996.

2. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.

3. Колягин, Ю.М., Оганесян, В.А. Учись решать задачи / Ю.М.Колягин, В.А.Оганесян. – М.: Просвещение, 1980.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.

5. Пойа Д. Как решать задачу. - Львов: Квантор, 1991.

6. Фридман, Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман, Е.Н.Турецкий. – М.: Просвещение, 1989.

Задания для самостоятельной работы

1. Поясните, как определяется роль задач в зависимости от целей обучения математике.

2. Охарактеризуйте роль задач в современном обучении математике.

3. Перечислите основные функции задач в обучении математике. Охарактеризуйте обучающие, контролирующие, воспитывающие функции задач.

4. Приведите примеры, когда одна и та же учебная задача реализуют различные ведущие функции.

5. Раскройте содержание этапов решения задачи: осмысление условия, составление плана решения задачи, осуществление плана решения, изучение найденного решения задачи.

6. На конкретных примерах проиллюстрируйте организацию деятельности учащихся по анализу условия и требования задачи, составлении схематической, табличной, структурной, графической и др. видов моделей задач.

7. Приведите примеры оформления решения текстовых задач, решаемых арифметическим методом, методом составления уравнения, геометрических задач на доказательство и др.

8. Продумайте организацию деятельности учащихся по проверке и исследованию полученного решения выбранной вами задачи.

Методические рекомендации

В настоящее время первостепенной является задача интеллектуального развития, включающего способность человека к усвоению новых знаний, к самостоятельному поиску и усвоению новой информации. Поэтому использование учебных задач является важнейшим средством формирования знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики.

Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач

Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основные этапы: осмысление условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление плана решения, изучение (исследование) найденного решения.

Осмысление условия задачи (1 этап).

- Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели).

- Поиск необходимой информации в сложной системе памяти.

- Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом.

Составление плана решения задачи (2-й этап).

- Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых.

- Попытки подвести задачу под известный тип.

- Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных).

- Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.

Осуществление плана решения задачи (3-й этап).

- Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.