Уравнение состояния сверхплотного вещества (стр. 1 из 2)

Учреждение образования «Брестский государственный университет

имени А.С.Пушкина»

Физический факультет

Кафедра теоретической физики и астрономии

Реферат по специализации

«Теоретическая физика»

Уравнение состояния сверхплотного вещества.

Брест 2010

Уравнение состояния для Ае- и Аеп-фаз вещества

Мы будем иметь дело с моделями звездных конфигураций, состоящих из вырожденных газовых масс. Это конфигурации белых карликов и барионных звезд. Под последними подразумеваются модели небесных тел, состоящих из вырожденного барионного газа. В расчетах параметров этих звездных конфигураций нужно иметь уравнение состояния вещества. Нас интересуют только вырожденные состояния вещества.

Начнем с рассмотрения Ае-фазы. Она состоит из голых атомных ядер и свободного вырожденного электронного газа. При достаточно низких температурах движение ядер сводится лишь к тому, что они совершают нулевые колебания около фиксированных точек равновесия. Поэтому они не дают никакого вклада в давление вещества. Давление целиком обусловлено электронами, плотность же энергии определяется атомными ядрами.

Плотность энергии равна

ρ = (т_пс² +b)∑ 2 А_кп_к +

_e(1)

где b— средняя энергия связи нуклона в ядрах (здесь нет смысла различать массы протона и нейтрона), п_к — число ядер данного типа (с параметрами А_к и Z_к) в единице объема, ρ_е — плотность энергии электронного газа. В условиях наличия вырожденного электронного газа bявляется функцией

_е .Согласно

ρ_е= 4Ке(х_е (1 + 2х²_e)

- (х_е + )) (2)

где, х_е = ρ_е/m_ес = (3

)^1/3hn_e^1/3m_e с — граничный импульс электронов в единицах m_ес (при р_е>> т_ес, х_е = _е/т_е с²) и

Ке

(3)

Иногда удобно взамен х_eиспользовать параметр t_е:

t_е =4arshx_e(4)

С помощью этого параметра плотность энергии электронов запишется в следующем компактном виде:

ρ_e = Ке(sh t_e- t_e). (5)

В выражении энергии (1) можно произвести некоторые упрощения. Так,

∑A_kn_k=

∑Z_kn_k= n_e

где А/Zесть средняя величина отношения А_к/Z_к(усредненная по всем типам ядер, имеющихся в среде). Учитывая последнее и пренебрегая малыми величинами bи ρ_е, получаем

ρ=

(6)

Напомним, что из-за явления нейтронизации отношение А/ Zявляется функцией х_е, эта зависимость аппроксимирована полиномом. Теперь вычислим давление. Оно равно производной энергии по объему с обратным знаком, при постоянном числе частиц и энтропии (в данном случае энтропия равна нулю). Так как парциальное давление ядер не учитывается, то

P=-(

)_Ne=-( )_Ne

где N_е = Vп_е— число электронов в некотором объеме V. При дифференцировании ρ_е нужно учесть, что х_е зависит от объема V. Имея в виду (2), находим для давления

Р =

Ке [x_е (2 - 3) +3 ].(7)

Учитывая также формулу, уравнение состояния вещества в Aе-фазе можно записать в следующем параметрическом виде:

( ³ K_n (2+a₁x_e+a₂ +a₃ ,

P=(

)⁴K(8)

Где a_1,a₂, а₃ — постоянные, входящие в формулу: а₁= 1,255

10^-2, а₂=1,755 10^-5, а₃=1,376 10^-6; кроме того, мы ввели также новое обозначение

К_п=

5,11 10³⁵ эрг см^-3, (9)

которое будет встречаться в дальнейшем.

Рассмотрим два важных предельных случая уравнения состояния (8). В нерелятивистском случае параметр х_е мал по сравнению с единицей. Разложим Р в ряд по степеням х_е и отбросим малые величины в выражениях ρ и Р; исключая параметр х, получим

Р=Aρ^5/3, (10)

Где

A= )^5/3

^-23 )^5/3

Величина η= A/Z

для всех ядер, за исключением водорода.

Р=Bρ^4/3, (11)

Где

B=5,64

10^-14 )^4/3

В выражении для плотности энергии мы опустили bи ρ_е.

Энергия связи нуклона в ядре имеет значение в интервале 0<b

8 Мэв. У порога исчезновения Aе-фазы Р 10²⁹ эрг см^-3, а отношение парциальных плотностей энергии электронов и ядер порядка

Таким образом, bи ρ_е действительно достаточно малы и в расчетах звездных конфигураций не могут играть сколько-нибудь заметную роль.

В приведенном уравнении состояния не учтено взаимодействие частиц. Здесь мы имеем дело только с кулоновскими силами . Было показано, что потенциальная энергия электрона, обусловленная электрическими силами, мала по сравнению с его кинетической энергией, причем с возрастанием плотности отношение их уменьшается. Таким образом, приближение идеального газа здесь вполне оправдано. Ряд поправок к выражению давления (8), обусловленных кулоновскими взаимодействиями. Поправки к Р некоторую роль могут играть лишь при больших Zи х<1. Изменения, обусловленные температурой, тоже несущественны. Здесь важным является эффект зависимости А/Zот граничной энергии электронов.

Уравнение состояния (8) применимо до x=46, чему соответствует плотность ρ

2,4 10³² эрг см^-3. При больших плотностях мы имеем дело с Aen-фазой, где уравнение состояния другое.

Введем параметр

t_n =4arshx_n ,

тогда ρ_п и Р_п запишутся в следующем виде:

ρ_n=K_n(sh t_n - t_n),

P_n= K_n(sh t_n - 8sh

).(13)

Учитывая также энергию атомных ядер, парциальное давление и плотность энергии электронов, для уравнения состояния Aen-фазы вещества получаем

ρ=K_n(sh t_n - t_n)+m_nc² ,

P= K_n(sh t_n - 8sh

)+P_e.(14)

Здесь ρ_е и Р_e —плотность энергии и давление электронного газа. Заметим, что чуть выше порога появления Aen-фазы парциальная плотность энергии и давление электронов (можно даже сказать — плотность энергии атомных ядер) достаточно малы по сравнению с соответствующими величинами для нейтронного газа. Здесь почти на всем протяжении фазы энергия и давление системы в основном определяются нейтронным газом.