Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета (стр. 2 из 6)

3.Кольца последовательностей и функций. Среди этих колец выделим особо:

а) кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей;

б) кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел;

в) кольцо фундаментальных последовательностей;

г) кольцо непрерывных действительно-значных функций на отрезке [0 , 1].

4. Кольца матриц. Среди разнообразных матричных колец выделим следующие:

а) полное матричное кольцо M_n(A) над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо;

б) кольцо D_n(A) диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевые элементы;

в) кольцо TN_n(A) нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.

Кольца M_n и TN_n являются некоммутативными, в кольце TN_n нет единицы.

3⁰. Примеры полей.

1. Числовые поля.Q, R, C, Q[i], Q[

] .

2. Поля дробно-рациональных функций: Q(x), R(x), C(x). Так, элементами множества R(x) являются всевозможные функции вида

, где f(x), g(x) - многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен g(x) ненулевой. Операции сложения и умножения дробей обычные.

3. Поле вычетов Z_p по простому модулю p. Например, для p=7 утверждение получается из следующих равенств в кольце Z₇: 2Ä4 = 3Ä5 = 6Ä6 = 1.

4⁰. Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец и полей приведены в теоремах.

Теорема. Для любых элементов кольца справедливы равенства:

(а) 0×x = x×0 = 0;

(б) правило знаков: x(- y) = (-x)y = -(xy);

(в) (дистрибутивность умножения относительно разности)

(x - y)z = xz - yz, x(y - z) = xy - xz;

где разность определяется обычным образомx - y := x + (- y).

Доказательство. (а) Имеем: 0×x = (0 + 0)×x = 0×x +0×x, откуда0×x = 0. Аналогично проверяется и второе равенство x×0 = 0.

(б) Имеем: 0 = x×0 = x×(y + (-y)) = x×y +x×(-y), откуда x×(-y) = -(x×y).

(в) Имеем: (x - y)z =(x + (- y))z =x×z + (-y)×z =x×z - y×z. ÿ

Обозначение.

:= a×b^-1, если a, b - элементы поля, причем b¹ 0.

Теорема.В поле справедливы обычные правила работы с дробями:

(а) основное свойство дроби: ("c¹0)

;

(б) правила сложения дробей:

, ;

(в) правило умножения дробей:

;

(г)

, еслиab ¹ 0;

в частности, справедливо известное правило деления дробей.

Доказательство. (а) Действительно,

= (ac)×(bc)^-1 = acc^-1b = a×b^-1 =

.

(б) Имеем:

= (a + c)×b^-1 = a×b^-1 + c×b^-1 = . И далее на основании уже доказанных свойств получаем .

Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. ÿ

3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).

1⁰. Полная мультипликативность.

Определение. Числовой (арифметической) функцией называется функция, определенная на множестве Z₊ целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.

Числовая функция q называется вполне мультипликативной, если выполнены условия:

(1) ($x) q(x)¹0,

(2) для любых взаимно простых чисел x и y

q(xy)= q(x) q(y).

Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство

q(1)=1.

В самом деле, q(1)¹0, так как иначе данная функция q была бы нулевой; q(1)= q(1×1)= q(1) q(1), следовательно, q(1)=1.

Легко проверить, что каждая из следующих функций

q(x)=1, q(x)= x, q(x)= x^-1,

вполне мультипликативна.

Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций.

Теорема. Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией.

Доказательство. Пусть числа x и y взаимно просты, а функции f и g вполне мультипликативны. Тогда, обозначив через h произведение функций f и g, имеем:

h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=[f(x)g(x)][f(y)g(y)]=

=h(x)h(y).

Следствие. Для любого целого k функцияq(x)= x^kвполне мультипликативна.

2⁰. Сумма значений функции по всем делителям аргумента.

Введем в рассмотрение, наряду с функцией q(x), функцию

,

равную сумме всех значений функции q(d) при условии, что переменная d пробегает все делители числа x.

Теорема (основное тождество). Если x=

, то

×

.

В частности, если функция qвполне мультипликативна, то и функция

также вполне мультипликативна.

Доказательство. Рассмотрим произведение сумм, находящееся в правой части требуемого равенства:

=

=

= .

Осталось заметить, что для каждого набора (g₁, g₂,..., g_k) целых неотрицательных чисел g_i, не превосходящих a_i, в сумме

каждое слагаемое встречается ровно один раз. Учитывая теперь, что каждый делитель числа

имеет вид

, получаем

=

.

Свойство полной мультипликативности рассматриваемой функции немедленно вытекает из того, что взаимно простые числа содержат различные простые сомножители. ÿ

3⁰. Число делителей t(x) и сумма делителей s(x).

Рассмотрим следующие вполне мультипликативные функции:

t(x)=

, где q(x)=1, - число делителей числа x,

s(x)=

, где q(x) = x, - сумма делителей числа x.

Теорема. Справедливы тождества:

t(

)=(a₁ + 1)( a₂ + 1)...( a_k + 1),

s(

)=

.

Доказательство. а) Из определения функции t(x) немедленно следует указанное тождество, поскольку в силу основного тождества легко подсчитать число слагаемых, каждое из которых равно 1, в каждой из скобок соответствующего произведения.

б) Это тождество получается из основного тождества и формулы суммы членов геометрической прогрессии:

.ÿ

4⁰. Функция Эйлера. Одной из важнейших числовых функций является следующая функция, впервые введенная в рассмотрение Эйлером.

Определение. Через j(x) обозначается количество чисел ряда

1, 2, ..., x, (*)

взаимно простых с числом x.