Приклади рішення задач з економетрії (стр. 3 из 5)
.Способ параметризации полученного многофакторного уравнения основывается на 1МНК и будет рассмотрен позднее.
· аналогично можно преобразовать квадратичною функцию y=а+bx+cх2. Ее приводим к линейной с помощью замены: z1=x, z2=x2. Получим:
y=a+bz1+cz2. (3.22)
Следует отметить, что найти параметры квадратичной функции y=ах2+bx+c можно и не используя линеаризацию (3.22). Осуществить параметризацию можно с помощью непосредственного применения МНК, при этом получим следующую систему нормальных уравнений (индексы суммирования опущены):
(3.23)Решить ее можно, например, с помощью метода Крамера (метода определителей).
Пример 3.2. Предполагается, что объем потребления некоторого товара имеет квадратичную зависимость от уровня дохода семьи в месяц (условные данные приведены в таблице). Требуется найти уравнение, выражающее эту зависимость.
Таблица 3.4
| Доход семьи, грн. | 800 | 1030 | 752 | 950 | 1004 | 837 | 986 | 1016 | 899 | 1005 |
| Объем потребления товара, кг. | 0,20 | 1,00 | 0,15 | 0,66 | 0,80 | 0,35 | 0,74 | 0,95 | 0,52 | 0,83 |
Решение.
Обозначим месячный семейный доход через регрессор х (тыс. грн.), а объем потребления товара – регрессант y (кг). Уравнение зависимости будем искать в виде
y=а+bx+cх2
Параметры модели a,b и c будем искать с помощью МНК. Расчеты приведем в таблице (столбцы 1-8):
Таблица 3.5
| № п/п | х | у | х2 | х3 | х4 | ху | х2у |  | u | u2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 1 | 0,80 | 0,20 | 0,64 | 0,51 | 0,41 | 0,16 | 0,13 | 0,24 | -0,04 | 0,001 |
| 2 | 1,03 | 1,00 | 1,06 | 1,09 | 1,13 | 1,03 | 1,06 | 0,96 | 0,04 | 0,002 |
| 3 | 0,75 | 0,15 | 0,57 | 0,43 | 0,32 | 0,11 | 0,08 | 0,15 | 0,00 | 0,000 |
| 4 | 0,95 | 0,66 | 0,90 | 0,86 | 0,81 | 0,63 | 0,60 | 0,65 | 0,01 | 0,000 |
| 5 | 1,00 | 0,80 | 1,01 | 1,01 | 1,02 | 0,80 | 0,81 | 0,85 | -0,05 | 0,003 |
| 6 | 0,84 | 0,35 | 0,70 | 0,59 | 0,49 | 0,29 | 0,25 | 0,32 | 0,03 | 0,001 |
| 7 | 0,99 | 0,74 | 0,97 | 0,96 | 0,95 | 0,73 | 0,72 | 0,78 | -0,04 | 0,002 |
| 8 | 1,02 | 0,95 | 1,03 | 1,05 | 1,07 | 0,97 | 0,98 | 0,90 | 0,05 | 0,002 |
| 9 | 0,90 | 0,52 | 0,81 | 0,73 | 0,65 | 0,47 | 0,42 | 0,49 | 0,03 | 0,001 |
| 10 | 1,01 | 0,83 | 1,01 | 1,02 | 1,02 | 0,83 | 0,84 | 0,86 | -0,03 | 0,001 |
| S | 9,28 | 6,20 | 8,70 | 8,23 | 7,86 | 6,02 | 5,88 | 6,20 | 0,00 | 0,013 |
Данные полученные в таблице подставим в систему (3.23), получим
.Решая ее методом Крамера, имеем:
| D=0,00036; | D1=0,00052; | D2=-0,00185; | D3=0,00163. |
Тогда,
 |  |  |
Искомая модель имеет вид:
. (3.24)Подставив последовательно в полученное уравнение (3.24) значения хi, получим теоретические значения
(столбец 9). Как видно из таблицы 3.5 теоретические значения регрессанта близки по своему значению к эмпирическим данным yi, этот же факт подтверждают и малые значения остатков 
(столбец 10). Можно утверждать, что квадратичное уравнение (3.24) хорошо описывает рассматриваемый экономический процесс.Проблема преобразования нелинейных по параметрам соотношений представляет особый интерес в эконометрических исследованиях. Этот класс нелинейных моделей можно подразделить на два типа[1]:
1) нелинейные модели внутренне линейные (те, которые с помощью элементарных преобразований можно свести к линейным);
2) нелинейные модели внутренне нелинейные (не могут быть сведены к линейным функциям).
К внутренне линейным можно отнести функции:
· степенную
· показательную
· экспоненциальную y=ea+bx.
Перечисленные функции можно свести к линейным логарифмированием обеих частей выражения (обычно логарифмируют по основанию е).
Для степенной функции получим:
(3.25)
Если переопределить
, 
и 
, то от соотношения (3.24) перейдем к линейному относительно переменных и параметров соотношению 
. (3.25')Таким образом, оценивая регрессию между логарифмом у и t, получаем оценку темпа прироста b.
Логарифмируя показательную функцию
также получим линейное уравнение 
. (3.26)
Замена:
, 
и , имеем: 
(3.27)Преобразования экспоненциальной зависимости y=ea+bx аналогичны показательным (учитывая, что
): 
(3.28)
Линейная модель
(3.29)получается заменой
.После оценки параметров линейных моделей, полученных после соответствующих преобразований, можно вернуться к исходным моделям, используя обратную замену и последующее потенцирование.
Пример 3.3. Решить задачу 3.2. в предположении, что объем потребления товара и уровень дохода семьи в месяц имеют экспоненциальную зависимость.
Решение.
Уравнение зависимости между регрессором х и регрессантом у будем искать в виде экспоненциального уравнения y=ea+bx. После логарифмирования переходим к уравнению (3.28) 
, или, используя замену
, к уравнению (3.29) .Параметры линейной модели (3.29) будем искать по 1МНК. Для этого составим расчетную таблицу (столбцы 1-6):
Таблица 3.6
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| № п/п | х | у |  | х2 | ху* | | u | u2 |
| 1 | 0,80 | 0,20 | -1,609 | 0,64 | -1,288 | 0,175 | 0,025 | 0,001 |
| 2 | 1,03 | 1,00 | 0 | 1,06 | 0,000 | 1,256 | -0,256 | 0,065 |
| 3 | 0,75 | 0,15 | -1,897 | 0,57 | -1,423 | 0,114 | 0,036 | 0,001 |
| 4 | 0,95 | 0,66 | -0,416 | 0,90 | -0,395 | 0,632 | 0,028 | 0,001 |
| 5 | 1,00 | 0,80 | -0,223 | 1,01 | -0,223 | 0,971 | -0,171 | 0,029 |
| 6 | 0,84 | 0,35 | -1,05 | 0,70 | -0,882 | 0,246 | 0,104 | 0,011 |
| 7 | 0,99 | 0,74 | -0,301 | 0,97 | -0,298 | 0,891 | -0,151 | 0,023 |
| 8 | 1,02 | 0,95 | -0,051 | 1,03 | -0,052 | 1,152 | -0,202 | 0,041 |
| 9 | 0,90 | 0,52 | -0,654 | 0,81 | -0,589 | 0,412 | 0,108 | 0,012 |
| 10 | 1,01 | 0,83 | -0,186 | 1,01 | -0,188 | 1,058 | -0,228 | 0,052 |
| S | 9,28 | 6,20 | -6,388 | 8,70 | -5,337 | 6,905 | -0,705 | 0,235 |
Подставив данные, полученные в первых шести столбцах таблицы в формулы (3.16) и (3.17), получим: