Приклади рішення задач з економетрії (стр. 4 из 5)
Получим
.Потенцируя полученное выражение для
, получим 
или, окончательно,
(3.30)Определим теоретические значения регрессанта, подставив в функцию (3.30) значения х (столбец 7). Для оценки полученной модели рассчитаем ее остатки (столбцы 8,9). Сравнивая остатки квадратичной модели (пример 3.2) и экспоненциальной модели (пример 3.3) видно, квадратичная модель дает более точную аппроксимацию исследуемого процесса.
Внутренне нелинейные функции требуют особого подхода. Как уже отмечалось, их невозможно привести к линейным с помощью обычных преобразований. Примером внутренне нелинейной модели служит соотношение:
(3.31)Для оценки параметров такой модели используют итеративные процедуры. Процесс продолжают до тех пор, пока полученная модель не будет удовлетворять некоторому критерию. Как правило, критерием служит минимизация суммы квадратов остатков модели или же процесс прерывается, когда полученная сумма меньше некоторого наперед заданного числа.
Опишем процедуру оценки параметров модели как последовательность шагов:
Шаг 1. На основе априорных рассуждений выбираются некоторые начальные параметры модели.
(3.32) Шаг 2. Вычисляются теоретические значения
непосредственной последовательной подстановкой значений регрессора xi в соотношение (3.32).Шаг 3. Вычисляется сумма квадратов остатков (СКО) модели
. Определим параметр k=1.Шаг 4. Вносятся некоторые изменения в параметры модели:
. (3.33)Шаг 5. Определяются теоретические значения
из соотношения (3.33).Шаг 6. Вычисляется СКО
Шаг 7. Если полученное значение S(k) меньше предыдущего, то процесс продолжаем и возвращаемся к шагу 4 (k=k+1). Если же последние изменения параметров модели не привели к уменьшению СКО, то переходим к следующему шагу.
Шаг 8. Делается вывод о минимизации суммы квадратов остатков. В качестве искомой нелинейной эконометрической модели принимается предпоследнее соотношение.
При использовании современных компьютерных программ описанный метод не представляет сложностей, например, при работе в Microsoft Excel определение параметров нелинейной модели можно осуществить с помощью надстройки Поиск решения.
3.4. Проверка адекватности и точности простой модели.
Анализировать экономический процесс и строить прогнозы на основе построенной регрессионной зависимости можно только в случае установления адекватности (соответствия по выбранным критериям) модели рассматриваемому экономическому явлению и достаточной точности этой модели.
Для проверки адекватности модели эмпирическим данным служит оценка остатков модели (
, 
).Парную регрессионную модель можно считать адекватной при выполнении следующих условий:
· в модели объясняющая переменная Х является величиной неслучайной, а объясняемая переменная Y (а, следовательно, и остаток модели) является величиной случайной;
· последовательность остатков модели имеет нормальный закон распределения;
· математическое ожидание остатков равно нулю;
· значение уровней остатков модели являются независимыми величинами (т.е. каждое следующее значение
не зависит от предыдущего).Рассмотрим проверку выполнения перечисленных условий[2].
Проверка случайности остатков модели осуществляется с помощью непараметрических критериев, например, критерий серий и критерий пиков (поворотных точек).
Остановимся на критерии серий, который основан на медиане выборки.
Вначале составляют вариационный, располагая остатки ui в возрастающем порядке. Находят медиану um полученного ряда, (срединное значение при нечетном n и среднюю арифметическую из двух срединных значений при четном n). Дальнейшие рассуждения проводят, занося в таблицу "+", если значение остатка больше медианы и "-", если меньше. В случае равенства остатка медиане клетка не заполняется. Далее определяется длина и количество серий (подряд идущих плюсов или минусов). "Обозначим протяженность самой длинной серии через Kmax, а общее число серий - через n. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ного уровня значимости:
(3.34) 
где квадратные скобки, как обычно, означают целую часть числа."
Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений ui отвергается и модель считается неадекватной.
Существуют различные методы проверки соответствия распределения последовательности остатков нормальному закону распределения: метод Вестергарда, RS-критерий и т.д. При достаточно большом количестве наблюдений проверку можно осуществить с помощью критерия согласия Пирсона (подробно рассматривается в курсе математической статистики).
На практике ряды, как правило, не очень велики, в этом случае проверка гипотезы о нормально распределенной величине остатков модели может быть произведена лишь приближенно. Рассмотрим один из самых простых методов анализа последовательности ошибок модели, основанный на исследовании выборочных показателей: асимметрии (g1), эксцесса (g2) и их среднеквадратических ошибок (
и 
соответственно), которые рассчитываются по формулам:  |  | (3.35) |
 |  |
Если одновременно выполняются неравенства (3.36), то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении остатков.
 |  | (3.36) |
Если выполняется хотя бы одно из неравенств (3.36)
 |  | (3.37) |
то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.
Проверка равенства математического ожидания последовательности остатков нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе критерия Стьюдента (t-критерия) в следующем порядке:
· рассчитывается стандартное (среднеквадратическое) отклонение для последовательности остатков:
; (3.38)· в качестве критерия определяем величину
(3.39)где
- среднее арифметическое значение остатков;· задается уровень значимости a (обычно принимают a=0,05 или a=0,01);
· по таблице определяется значение tкр= t(a,n-1) с n-1 степенью свободы при заданном уровне значимости a;
· если tнабл<tкр, то гипотеза о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю принимается, в противном случае эта гипотеза отвергается и модель признается неадекватной.