Вычислить внутреннюю энергию Е Действительно, получим
Для вычисления интеграла евведем новую переменную и температуру Дебая
(по порядку величины 100— 1000 К). Тогда для одного грамм-атома кристалла получаем
где функция Дебая
При высоких температурах, , в верхнем пределе интеграла функции Дебая стоит малая величина, поэтому в подынтегральной функции х заведомо мало; полагая , получим
и теплоемкость имеет классическое значение
При низких температурах, , в верхнем пределе интеграла функции Дебая стоит большая величина, и так как в знаменатель подынтегральной функции входит член то этот предел можно заменить на бесконечность. Тогда
так как Внутренняя энергия
и теплоемкость ,
Таким образом, при низких температурах теплоемкость кристалла пропорциональна кубу температуры («закон 7»»).
Из формулы находим выражение для теплоемкости во всей области изменения температуры:
Из этой .формулы видно, что в теории Дебая теплоемкость является для всех тел одной и той же универсальной функцией . График зависимости от в приведен на •рис. Формула для теплоемкости, несмотря на приближенный характер теории Дебая, хорошо подтверждается на опыте. Дальнейшее развитие теории теплоемкости кристаллов связано с отказом от замены твердого тела непрерывной средой и рассмотрением колебаний твердого тела как колебаний кристаллической решетки.
В теории Дебая можно вычислить энергию Гельмгольца и другие термодинамические величины (•)..