Элементы теории оптических резонаторов (стр. 4 из 5)
Рассмотрим теперь дифракционные потери в резонаторе. Если воспользоваться выражением для , то , т.е дифракционные потери отсутствуют. Но это - следствие того, что . Т.е., чтобы рассмотрение собственных значений имело смысл, в последних интегральных уравнениях необходимо считать Nконечной величиной; иными словами нужно рассмотреть радиальные сфероидальные функции Фламмера. Оказывается, что для данного числа Френеля дифракционные потери в конфокальном резонаторе значительно меньше, чем в резонаторе с плоскими зеркалами. Это нетрудно понять, если заметить, что благодаря фокусирующему действию сферических зеркал поле в конфокальном резонаторе сосредотачивается главным образом вдоль оси резонатора. Если известно распределение поля на зеркалах, то поле в любой точке внутри резонатора можно получить, используя опять интеграл Френеля-Кирхгофа. В предельном случае
можно показать, что если направить ось z вдоль оси резонатора и расположить начало координат в центре резонатора, то распределение поля запишется в виде 
где
, 
, 
, 
. 
Заметим, что первые четыре множителя
представляют собой амплитуду поля 
, в совокупности это есть амплитудный множитель. Пятый множитель дает изменение фазы вдоль оси резонатора, это продольные фазовый множитель. Последний, поперечный фазовый множитель, выражает изменения фазы в плоскости, перпендикулярной оси резонатора. Изучим амплитудный множитель. Рассмотрим m=l=0, Hm=Hl=const, и амплитудный множитель 
Т.е., если не учитывать 
, то |U| описывается гауссовой функцией, ширина 
которой на уровне 1/е от максимального значения в соответствии с выражением для является функцией продольной координаты z. Т.е. в любой точке внутри резонатора пучок сохраняет гауссов профиль, но размер пятна изменяется в продольном направлении. При z=0 минимальный размер пятна (в перетяжке пучка) 
. Размер пятна на зеркалах в 
раз больше, чем в перетяжке. Величина 
называется конфокальным параметром.Рассмотрим теперь продольный фазовый множитель. Вначале отметим, что
, где 
. Выбор знака зависит от того, по или против оси zраспространяется волна. Поэтому стоячую волну в резонаторе можно рассматривать как суперпозицию этих волн. Т.о., функция 
описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости координаты z. Заметим, что набег фазы, который приобретает волна при ее распространении по оси zот левого до правого зеркала, не равен точно набегу фазы 
плоской волны. Это приводит к двум взаимосвязанным следствиям: 1) фазовая скорость гауссова пучка близка к скорости света плоской волны, хотя и немного превышает ее; 2) резонансные частоты конфокального резонатора отличаются от плоскопараллельного резонатора. 
Наконец, рассмотрим поперечный фазовый множитель. Наличие этого множителя говорит о том, что плоскости z=constне являются поверхностями постоянной фазы, т.е. волновые фронты не являются плоскими. Оказывается, что эквифазная поверхность представляет собой параболоид вращения. Радиус кривизны этого параболоида в точке z=z0 в точности равен R. Заметим, что при z=0 (центр резонатора)
и волновой фронт является плоским. Заметим также, что при 
(т.е. на зеркалах) 
. Т.е. вблизи зеркал эквифазные поверхности совпадают с поверхностью зеркал.5. Гауссовы пучки
Прежде, чем говорить о гауссовом пучке, поясним суть матричной формулировки геометрической оптики. Рассмотрим луч света, который проходит через оптический элемент (линза, зеркало, их системы). Лучевой вектор r1 на данной входной плоскости z=z1 оптического элемента можно описать двумя параметрами: его радиальным смещением r1 от оси zи угловым смещением
. Аналогично r2 на выходной плоскости z=z2 можно определить его радиальным r2 и угловым 
смещениями. В параксиальном приближении угловые смещения предполагаются малыми, и 
В этом случае 
и 
связаны друг с другом линейным преобразованием. Если 
, 
, то имеем 
или в матричном виде
где матрица ABCDполностью характеризует данный оптический элемент в приближении параксиальных лучей.
Итак, сначала рассмотрим свободное распространение однородной сферической волны из точечного источника Р, расположенного в точке z=0. Поле U(P1), создаваемое этой волной в точке P1 с цилиндрическими координатами rи z0, в случае r<<Rзаписывается в виде
где R - радиус кривизны сферической волны в точкеP1. Отсюда мы видим, что поперечное изменение фазы пучка, а именно
должно описываться сферической волной радиусом R.
Рассмотрим теперь свободное распространение гауссова пучка l=m=0 (см. пред. пункт). Подставив выражение для
в выражения для 
и R(z), получим 
Для данной длины волны
как 
, так и 
(а, следовательно, и распределение поля) в данной точке 
зависят исключительно от . Это нетрудно понять, если заметить, что в плоскости z=0 известно как распределение амплитуды поля (т.к. известна величина и распределение поля является гауссовым), так и фазы (т.к. в перетяжке). Тогда поле в любой другой точке пространства можно вычислить, начиная с известного распределения поля в перетяжке пучка с помощью, например, интеграла Френеля-Кирхгофа. Отсюда можно прийти к заключению, что если известно положение перетяжки пучка и ее размер, то распространение гауссова пучка всегда можно описать последними выражениями, независимо от того, является ли перетяжка минимальным размером пятна пучка внутри резонатора или же минимальным размером пятна в любой другой точке вдоль пучка (например, благодаря фокусировке пучка положительной линзой). Расстояние от перетяжки пучка, на котором размер пятна увеличивается в 
раз, называется рэлеевской длиной zR. Из выражения для получаем 
, т.е. рэлеевская длина равна половине конфокального параметра.