Курс физики (стр. 9 из 157)
Если для сталкивающихся тел ε = 0, то такие тела называются абсолютно неупругнмн, если ε = 1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел 0 < ε < 1 (например, для стальных шаров ε ≈ 0,56, для шаров из слоновой кости ε ≈ 0,89, для свинца ε ≈ 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой степенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).
Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v′1 и v′2 (рис. 18). В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.
Рис. 18
При указанных допущениях законы сохранения имеют вид
(15.1) (15.2)Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и
(15. 2), получим
откуда(15.3) (15.4) (15.5)
Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим
(15.6) (15.7)Разберем несколько примеров.
1. При v2 = 0
(15.8) (15.9)Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:
а) m1 = m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2 = 0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (v′1 = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара
(v′2=v1);
Рис. 19
б) m1 > m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v′1 < v1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'2 > v′1) (рис. 20);
Рис. 20
в) m1 < m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. v'2 < v1 (рис. 21);
Рис. 21
г) m2 >> m1 (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v′1 = −v1; v′2 ≈ 2m1 1v /m2 ≈ 0..
2. При m1 = m2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид
т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.
Абсолютов неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).
Рис. 22
Если массы шаров m1 и m2, их скорости до удара v1 и v2, то, используя за-
кон сохранения импульса, можно записать
где v — скорость движения шаров после удара.
Тогда
(15.10)Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m2), то
Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую и другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:
Используя (15.10), получаем
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то
Когда m2 >> m1 (масса неподвижного тела очень большая), то v << v1 и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m1 >> m2), тогда v ≈ v1 и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.
Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.
ЗАДАЧИ
3.1. Определить: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) максимальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с. [1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]
3.2. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия 60 Дж; 2) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж]
3.3. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которой должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]
3.4. Пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со скоростью v=500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой М=5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника. [18°30/]
3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается выражением П( )r = A − B, где А r2 rи В — положительные постоянныe. Определить значение г0, соответствующее равновесному положению частицы. Является ли это положение положением устойчивого равновесия? [г0 = 2А/Б]
3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой m1 ударяется о покоящееся тело массой m2, в результате чего скорость первого тела уменьшается в n = 1,5 раза. Определить: 1) отношение m1/m2; 2) кинетическую энергию Т'2 второго тела, если первоначальная кинетическая энергия первого тела T1 = 1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]
3.7. Тело массой m1 = 4 кг движется со скоростью v1 =3 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]
ГЛАВА 4 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 16. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом терции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.