Об одном способе векторного и аналитического представления контура изображения (стр. 2 из 3)

Рис. 3.

Прирост точек количественно равен уменьшению числа контрольных точек при увеличениях весового порога. Оптимальное пороговое значение следует выбирать из интервала от (h?, h??), где h? - значение весового порога, соответствующее максимуму прироста числа контрольных точек, h- значение, начиная с которого число контрольных точек равно нулю. Следует отметить, что в литературе имеется указание на то, что оптимальным для распознавания изображений считается получение приблизительно 40 контрольных точек [4].

3. Формирование векторного представления контура

После выполнения алгоритма прослеживания контура и выявления контрольных точек имеется три вектора:

, , - абсциссы, ординаты и веса контрольных точек соответственно. Тройку назовем скелетом изображения . Далее вычислим:

центр масс контрольных точек

, где , ;

длины радиус-векторов контрольных точек относительно центра масс:

, , а также длины нормированных радиус-векторов , где ;

косинусы углов между соседними радиус-векторами контрольных точек:

, ( считая , )

Из вычисленных компонент составляем векторы

. Векторы будут инвариантны относительно сдвига, поворота и гомотетии изображения относительно центра масс (если «замкнуть» эти векторы, считая ). Четверку будем называть нормированным векторным представлением изображения . Рассмотрим вопрос об устойчивости центра масс изображения к добавлению новой контрольной точки.

Теорема 1. Если к нормированному векторному представлению

добавить контрольную точку с весом , то для евклидова расстояния между новым центром тяжести и старым справедлива оценка , где - точки скелета изображения . В частности, если , то .

Другими словами, если число контрольных точек достаточно велико, а вес новой точки небольшой, то центр симметрии сместится незначительно.

4.Функция изображения

Вместо анализа векторного представления

в ряде задач (одна из которых будет рассмотрена в следующем разделе) удобней изучать свойства некоторой функции, связывающей векторы из представления . Например, рассмотрим функцию ,
где ( ). Эту функцию можно рассматривать как обобщение дескриптора Фурье [5]. По функции коэффициенты (а, следовательно, и ) будут определяться однозначно, как коэффициенты частичной суммы ряда Фурье. По дискретным значениям этой функции , коэффициенты можно найти из линейной системы , , если значения , , такие, что определитель матрицы отличен от нуля, где , где - целая часть числа. Множество функций изображения будем рассматривать вместе с нормой . Следующая теорема говорит об устойчивости функции изображения к изменению весов (и, следовательно, к изменению центра масс).

Теорема 2. Пусть

и два скелета изображения такие, что . Тогда, если и соответствующие этим скелетам функции изображения, то , где .

Однако при добавлении новой контрольной точки даже с небольшим весом функция изображения, вообще говоря, может сильно измениться, так как она не является инвариантной относительно сдвига векторов векторного представления

. Таким свойством будет обладать, например, функция , хотя коэффициенты этой функции уже не будут однозначно восстанавливаться по ее значениям.

5.Распознавание симметрий

Изображение

называется -осесимметричным [6], если оно переводится само в себя после поворота на любой угол, кратный вокруг своего центра масс. Симметрия является важной в задачах распознавания характеристикой изображаемого объекта. Подробный обзор существующих методов обнаружения симметрий и определения ориентации объекта, в том числе и с помощью дескрипторов Фурье, можно найти в работе [6]. Распознавать симметрию можно непосредственно анализируя векторное представления , если оно достаточно точно отражает характер симметрии (не содержит «лишних» контрольных точек). Векторное представление назовем -осесимметричным, если построенный по этому векторному представлению многоугольник будет -осесимметричным. С другой стороны, для распознавания симметрии можно использовать и функцию изображения . В этом случае лучше перейти к комплексной форме записи функции изображения. Обозначим через , где . Тогда и справедлива