Трёхмерная компьютерная графика (стр. 11 из 12)

3.14 Пересечение прямоугольной области в преобразованной системе координат

Рассмотрим упрощение вычислений точек пересечения луча и поверхности второго порядка общего вида. В произвольной декартовой системе координат поверхностей второго порядка является геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

Q (x, y, z) = a₁x² + a₂y² + a₃z² +

b₁yz + b₂xz + b3xy +

c₁x + c₂y + c₃z +d = 0

После применения преобразования, которое является комбинацией переноса и поворота и используется для совмещения луча с осью z, пересечение этого луча с поверхностью, если оно имеет место, возникает при x = y = 0. Поэтому в общем случае точки пересеченияявляются решениями уравнения:

т.е.

где штрих сверху обозначает коэффициенты общего уравнения поверхности второго порядка после преобразования. Если

, то решения выражаются комплексными числами и луч не пересекает поверхности. Если бесконечная поверхность второго порядка (например, конус или цилиндр) ограничена плоскостями, то эти плоскости также следует преобразовать и проверить на пересечения. Если найдено пересечение с бесконечной ограничивающей плоскостью, то необходимо, кроме того, произвести проверку на попадание внутрь. Однако в преобразованной системе координат эту проверку можно произвести на двумерной проекции фигуры, образованной пересечением ограничивающей плоскости и квадратичной поверхности. Для получения точки пересечения в исходной системе координат необходимо применить обратное преобразование.

Вычисления пересечений для элементов биполиномиальных параметрических поверхностей более сложны. Уиттед предложил простой метод разбиения для элемента бикубической поверхности. Вычисления выполняются с элементом поверхности в его исходном положении. Если луч пересекает сферическую оболочку элемента поверхности, то этот кусок разбивается с помощью алгоритма разбиения предложенного Кэтмулом. Затем луч проверяется на пересечение со сферическими оболочками подэлементов. Если пересечение не обнаружено, то луч не пересекается и с самим элементом. Если же луч пересекается со сферической оболочкой какого-нибудь подэлемента, то последний разбивается дальше. Процесс завершается, если ни одна из сферических оболочек не пересечена или если достигнут заранее определенный их минимальный размер. Эти сферические оболочки минимального размера и являются искомыми пересечениями луча и элемента поверхности.

При реализации преобразования, совмещающего луч с осью z, метод разбиения можно использовать скорее применительно к прямоугольным оболочкам, чем к сферическим. Это сокращает числоразбиений и увеличивает эффективность алгоритма. Для параметрических поверхностей, обладающих свойством выпуклой оболочки, например для поверхностей Безье и В-сплайнов, число разбиений можно сократить дополнительно за счет усложнения алгоритма, если для подэлементов воспользоваться их выпуклыми оболочками вместо прямоугольных.

Кадзия разработал метод для биполиномиальных параметрических поверхностей, который не требует их подразделения. Этот метод основан на понятиях, заимствованных из алгебраической геометрии. Решения получающихся при этом алгебраических уравнений высших степеней находятся численно. Метод, подобный этому, можно реализовать в преобразованной системе координат. Напомним, что биполиномиальная параметрическая поверхность определяется уравнением

Q (u, w) = 0

с компонентами

x = f (u, w)

y = g (u, w)

z = h (u, w)

в преобразованной системе координат выполнено условие x = y = 0. Значит,

f (u, w) = 0

g (u, w) = 0

Совместное решение этой пары уравнений дает значения uи w дляточек пересечения. Подстановка этих значений в уравнение z = h (u, w) дает компоненту z для точек пересечения. Неудача попытки найти действительное решение означает, что луч не пересекает поверхность. Степень системы уравнений для u, w равна произведению степеней биполиномиальных поверхностей. Бикубическая поверхность, например, имеет шестую степень. Следовательно, в общем случае потребуются численные методы решения. Там, где это допустимо, для начального приближения u и w можно использовать пересечения луча с выпуклой оболочкой. Для получения пересечений в исходной системе координат, как и ранее, следует использовать обратное преобразование.

Если трассируемый луч пересекает объекты сцены в нескольких точках, то необходимо определить видимое пересечение. Для алгоритмов определения видимости простых непрозрачных поверхностей пересечением с видимой поверхностью будет точка с максимальным значением координаты z. Для более сложных алгоритмов, учитывающих отраженияи преломления, эти пересечения следует упорядочить вдоль луча порасстоянию от его начала. В преобразованной системе координатэтой цели можно достичь простой сортировкой по z.

Алгоритм трассировки лучей для простых непрозрачных поверхностей можно представить следующим образом:

Подготовка данных для сцены:

Создать список объектов, содержащий по меньшей мере следующую информацию:

Полное описание объекта: тип, поверхность, характеристикии т. п.

Описание сферической оболочки: центр и радиус,

Флаг прямоугольной оболочки. Если этот флаг поднят, тобудет выполнен габаритный тест с прямоугольной оболочкой, если же он опушен, то тест выполняться не будет. Заметим, что габаритный тест необходим не для всех объектов, например для сферы он не нужен.

Описание прямоугольной оболочки: x_min,x_max,y_min, y_max,z_min, z_max.

Для каждого трассируемого луча:

Выполнить для каждого объекта трехмерный тест со сферической оболочкой в исходной системе координат. Если луч пересекает эту сферу, то занести объект в список активных объектов. Если список активных объектов пуст, то изобразить данный пиксел с фоновым значением интенсивности и продолжать работу. В противном случае, перенести и повернуть луч так, чтобы он совместился с осью z. Запомнить это комбинированное преобразование.

Для каждого объекта из списка активных объектов:

Если флаг прямоугольной оболочки поднят, преобразовать, используя комбинированное преобразование, эту оболочку всистему координат, в которой находится луч₁ и выполнить соответствующий тест. Если пересечения с лучом нет, то перейти к следующему объекту. В противном случае преобразовать, используя комбинированное преобразование, объект в систему координат, в которой находится луч, и определить его пересечения с лучом, если они существуют. Занести все пересечения в список пересечений.

Если список пересечений пуст, то изобразить данный пиксел с фоновым значением интенсивности.

В противном случае определить z для списка пересечений.

Вычислить преобразование, обратное комбинированному преобразованию.

Используя это обратное преобразование, определить точку пересечения в исходной системе координат.

Изобразить данный пиксел, используя атрибуты пересеченного объекта и соответствующую модель освещенности.

Заметим, что алгоритм определения видимости простых непрозрачных поверхностей, не требует вычислять преобразование, обратное комбинированному, или определять точку пересечения в исходной системе координат, если в модели освещения не возникает необходимость включения в алгоритм свойств поверхности объекта или ее ориентации в точке пересечения. Эти шаги включены в данный алгоритм для полноты и удобства при реализации алгоритма трассировки лучей с учетом общей модели освещенности.

Две модификации этого простого алгоритма заметно повышают его эффективность. Первая модификация основывается на понятии кластерных групп пространственно связанных объектов. Например, предположим, что сцена состоит из стола, на котором стоят ваза с фруктами и блюдо с конфетами. В вазе лежат апельсин, яблоко, банан и груша. Блюдо содержит несколько конфет разных форм и цветов. Вводятся сферические оболочки для групп или кластеров связанных объектов, например для вазы и всех плодов в ней, для блюда и всех конфет в нем, а также для стола и всех предметов на нем. Сферические оболочки, охватывающие более чем один объект, называются сферическими кластерами. Если это необходимо, то можно ввести и прямоугольные кластеры Вводится, кроме того, наибольший сферический кластер, именуемый сферой сцены, которая охватывает все объекты в этой сцене. Затем сферические оболочки обрабатываются в иерархическом порядке. Если луч не пересекает сферу сцены, то он не может пересечь и ни одного из ее объектов. Следовательно, пиксел, соответствующий этому лучу, будет изображен с фоновым значением интенсивности. Если же луч пересекает сферу сцены, то на пересечение с лучом проверяются сферические кластеры и сферические оболочки объектов, не содержащихся ни в одном из сферических кластеров, принадлежащих кластеру сцены. Если луч не пересекает сферический кластер, то сам этот кластер и все объекты или кластеры, содержащиеся в нем, исключаются из дальнейшего рассмотрения. Если ли же луч пересекает кластер, то эта процедура рекурсивно повторяется до тех пор, пока не будут рассмотрены все объекты. Если луч пересекает сферическую оболочку некоего объекта в какой-нибудь точке, то этот объект заносится в список активных объектов. Эта процедура значительно сокращает количество вычислений точек пересечения луча со сферическими оболочками и тем самым повышает эффективность всего алгоритма.