Трёхмерная компьютерная графика (стр. 3 из 12)

Дополнение до полного квадрата члена ( x_i )²с помощью добавления и вычитания 2x_i + 1 дает

Использование определения D_iприводит выражение к виду

Теперь, рассматривая случай 4, снова заметим, что следует выбрать вертикальный пиксел ( x_i, у_i – 1 ), так как y является монотонно убывающей функцией при возрастании x. проверка компонент d^\ для случая 4 показывает, что

поскольку оба пиксела находятся вне окружности. Следовательно, d^\ > 0 и при использовании критерия, разработанного для случая 3, происходит верный выбор m_V.

Осталось проверить только случай 5 на рис.2.7, который встречается, когда диагональный пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ) лежит на окружности, т. е. D_i = 0. Проверка компонент d показывает, что

Следовательно, d > 0 и выбирается диагональный пиксел ( x_i + 1, у_i – 1 ). Аналогичным образом оцениваем компоненты d^\:

и d < 0, что является условием выбора правильного диагонального шага к ( х_i + 1, у_i – 1 ). Таким образом, случай D_i = 0 подчиняется тому же критерию, что и случай D_i<0 или D_i > 0.

Подведем итог полученных результатов:

D_i < 0

d£ 0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i )® m_H

d > 0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i – 1 )® m_D

D_i > 0

d^&bsol;£ 0 выбираем пиксел ( х_i + 1, у_i – 1 )® m_D

d^&bsol; > 0 выбираем пиксел ( х_i , у_i – 1 )® m_V

D_i = 0 выбираем пиксел( х_i + 1, у_i – 1 )® m_D

Легко разработать простые рекуррентные соотношения дня реализации пошагового алгоритма. Сначала рассмотрим горизонтальный шаг m_H к пикселу ( х_i + 1, у_i ). Обозначим это новое положение пиксела как ( i + 1 ). Тогда координаты нового пиксела и значениеD_i равны

Аналогично координаты нового пиксела и значения D_iдля шага m_Dк пикселу ( х_i + 1, у_i – 1 ) таковы:

То же самое для шага m_Vк ( х_i, у_i – 1 )

Реализация алгоритма Брезенхема для окружности приводиться ниже.

Пошаговый алгоритм Брезенхема для генерации окружности в первом квадранте

все переменные целые

x_i = 0

y_i = R

D_i = 2(1 – R)

Предел = 0

Plot ( x_i, y_i )

if y_i£Предел then 4

выделение случая 1 или 2, 4 или 5, или 3

ifD_i < 0then 2

if D_i > 0then 3

ifD_i = 0then 20

определение случая 1 или 2

d = 2D_i + 2y_i – 1

ifd£ 0then 10

ifd > 0then 20

определение случая 4 или 5

d = 2D_i + 2x_i – 1

ifd£ 0then 20

ifd > 0then 30

выполнение шагов

шаг m_H

x_i = x_i +1

D_i = D_i +2x_i + 1

goto 1

шаг m_D

x_i = x_i +1

y_i = y_i – 1

D_i = D_i +2x_i – 2y_i + 2

goto 1

шаг m_V

30y_i = y_i – 1

D_i = D_i – 2x_i + 1

goto 1

4finish

Растровая развёртка сплошных областей

До сих пор речь шла о представлении на растровом графическом устройстве отрезков прямых линий. Однако одной из уникальных характеристик такого устройства является возможность представления сплошных областей. Генерацию сплошных областей из простых описаний ребер или вершин будем называть растровой разверткой сплошных областей, заполнением многоугольников или заполнением контуров. Для этого можно использовать несколько методов, которые обычно делятся на две широкие категории: растровая развертка и затравочное заполнение.

В методах растровой развертки пытаются определить в порядке

сканирования строк, лежит ли точка внутри многоугольника или контура. Эти алгоритмы обычно иду от “верха” многоугольника или контура к “низу”.

В методах затравочного заполнения предполагается, что известна некоторая точка (затравка) внутри замкнутого контура. В алгоритмах ищут точки, соседние с затравочной и расположенные внутри контура. Если соседняя точка расположена не внутри, значит, обнаружена граница контура. Если же точка оказалась внутри контура, то она становится новой затравочной точкой и поиск продолжается рекурсивно.

Растровая развёртка многоугольников

Можно разработать эффективный метод растровой развёртки многоугольников, если воспользоваться тем фактом, что соседние пикселы, вероятно, имеют одинаковые характеристики (кроме пикселов граничных рёбер). Это свойство называется пространственной когерентностью.

2.7 Растровая развёртка сплошной области

Характеристики пикселов на данной строке изменяются только там, где ребро многоугольника пересекает строку. Эти пересечения делят сканирующую строку на области.

Для простого многоугольника на рис. 2.7 строка 2 пересекает многоугольник при x = 1 и x = 8.

Получаем три области:

x < 1вне многоугольника

1 £ x £ 8внутри многоугольника

x >8вне многоугольника

Строка 4 делится на пять областей:

x < 1вне многоугольника

1 £x£ 4внутри многоугольника

4 < x < бвне многоугольника

б £x£ 8внутри многоугольника

x > 8вне многоугольника

Совсем необязательно, чтобы точки пересечения для строки 4 сразу определялись в фиксированном порядке (слева направо). Например, если многоугольник задаётся списком вершин P₁, P₂, P₃, P₄, а список рёбер - последовательными парами вершин P₁P₂, P₂P₃, P₃P₄, P₄P₅, P₅P₁, то для строки 4 будут найдены следующие точки пересечения с рёбрами многоугольника: 8, 6, 4, 1. Эти точки надо отсортировать в возрастающем порядке по x, т. е. получить 1,4, 6, 8.

При определении интенсивности, цвета и оттенка пикселов на сканирующей строке рассматриваются пары отсортированных точек пересечений. Для каждого интервала, задаваемого парой пересечений, используется интенсивность или цвет заполняемого многоугольника. Для интервалов между парами пересечений и крайних (от начала строки до первой точки пересечения и от последней точки пересечения до конца строки) используется фоновая интенсивность или цвет.

2.8 Системы координаты строк сканирования.

Точное определение тех пикселов, которые должны активироваться, требует некоторой осторожности. Рассмотрим простой прямоугольник, изображенный на рис. 2.8. Прямоугольник имеет координаты (1,1), (5,1), (5,4), (1,4). Сканирующие строки с 1 по 4 имеют пересечения с ребрами многоугольника при x = 1 и 5. Пиксел адресуется координатами своего левого нижнего угла, значит, для каждой из этих сканирующих строк будут активированы пикселы с x-координатами 1, 2, 3, 4 и 5. На рис. 2.8 показан результат. Заметим, что площадь, покрываемая активированными пикселами, равна 20, в то время как настоящая площадь прямоугольника равна 12.

Модификация системы координат сканирующей строки и теста активации устраняет эту проблему, как это показано на рис. 2.8,b. Считается, что сканирующие строки проходят через центр строк пикселов, т. е. через середину интервала, как это показано на рис. 2.8,b. Тест активации модифицируется следующим образом: проверяется, лежит ли внутри интервала центр пиксела, расположенного справа от пересечения. Однако пикселы все еще адресуются координатами левого нижнего угла. Как показано на рис.2.8,b, результат данного метода корректен.

Горизонтальные ребра не могут пересекать сканирующую строку и, таким образом, игнорируются. Это совсем не означает, что их нет на рисунке. Эти ребра формируются верхней и нижней строками пикселов.

Дополнительная трудность возникает при пересечении сканирующей строки и многоугольника точно по вершине, как это показано на рис. 2.9. При использовании соглашения о середине интервала между сканирующими строками получаем, что строка у = 3.5 пересечет многоугольник в 2, 2 и 8, т. е. получится нечетное количество пересечений. Следовательно, разбиение пикселов на пары даст неверный результат, т. е. пикселы (0,3), (1,3) и от (3,3) до (7,3) будут фоновыми, а пикселы (2,3), (8,3), (9,3) окрасятся в цвет многоугольника. Если учитывать только одну точку пересечения с вершиной. Тогда для строки у = 3.5 получим правильный результат. Однако результат применения метода к строке у = 1.5, имеющей два пересечения в (5,1), показывает, что метод неверен. Для этой строки именно разбиение на пары даст верный результат, т. е. окрашен будет только пиксел (5,1). Если же учитывать в вершине только одно пересечение, то пикселы от (0,1) до (4,1) будут фоновыми, а пикселы от (5,1) до (9,1) будут окрашены в цвет многоугольника.

2.9 Особенности пересечения со строками сканирования.

Правильныйрезультат можно получить, учитывая точку пересечения в вершине два реза, если она является точкой локального минимума или максимума и учитывая один раз в противном случае. Определить локальный максимум или минимум многоугольника в рассматриваемой вершине можно с помощью проверки концевых точек двух ребер. Если у обоих рёбер у больше, чем у вершины, значит, вершина является точкой локального минимума. Если меньше, значит, вершина - точка локального максимума. Если одна больше, а другая меньше, следовательно, вершина не является ни точкой локального минимума, ни точкой локального максимума. На рис.2.10 точка Р₁- локальный минимум, Р₃- локальный максимум, а Р₂, Р₄ - ни то ни другое. Следовательно, в точках Р₁ и Р₃учитываются два пересечения со сканирующими