Трёхмерная компьютерная графика (стр. 8 из 12)
3.8 Не лицевые плоскости
Тот факт, что плоскости имеют бесконечную протяженность и что скалярное произведение точки на матрицу тела отрицательно, если точка лежит вне этого тела, позволяет предложить метод, в котором матрица тела используется для определения граней, которые экранируются самим этим телом. Отрицательное скалярное произведение даёт только такая плоскость (столбец) в матрице тела, относительно которой точка лежит снаружи.
Если зритель находится в бесконечности на положительной полуоси z и смотрит на начало координат, то его взгляд направлен в сторону отрицательной полуоси z. В однородных координатах вектор такого направления равен:
который служит, кроме того, образом точки, лежащей в бесконечности на отрицательной полуоси z. Фактически [Е] представляетлюбую точку, лежащую на плоскости z = -¥, т. е. любую точкутипа (x, y, -¥). Поэтому, если скалярное произведение [Е] настолбец, соответствующий какой-нибудь плоскости в матрице тела, отрицательно, то [Е] лежит по отрицательную сторону этой плоскости. Следовательно, эти плоскости невидимы из любой точкинаблюдения, лежащей в плоскости z = ¥, а пробная точка на z = -¥ экранируется самим телом, как показано на рис. 3.8. Такие плоскости называются нелицевыми, а соответствующие имграни задними. Следовательно,
[Е][V] < 0
является условием того, что плоскости – нелицевые, а их грани - задние. Заметим, что для аксонометрических проекций (точка наблюдения в бесконечности) это эквивалентно поиску положительных значений в третьей строке матрицы тела.
Этот метод является простейшим алгоритмом удаления невидимых поверхностей для тел, представляющих собой одиночные выпуклые многогранники. Этот способ часто называют отбрасыванием задних плоскостей. Для выпуклых многогранников число граней при этом сокращается примерно наполовину. Метод эквивалентен вычислению нормали к поверхности для каждого отдельного многоугольника. Отрицательность нормали к поверхности показывает, что нормаль направлена в сторону от наблюдателя и, Следовательно, данный многоугольник не виден.
Этот метод можно использовать также и для простой закраски. Интенсивность или цветовой оттенок многоугольника делается пропорциональным проекции нормали к поверхности на направление взгляда.
Данный метод определения не лицевых граней в результате формирует аксонометрическую проекцию на некую плоскость, расположенную бесконечно далеко от любой точки трехмерного пространства. Видовые преобразования, включая перспективное, производятся до определения не лицевых плоскостей. Когда видовое преобразование включает в себя перспективу, то нужно использовать полное перспективное преобразование одного трехмерного пространства в другое, а не перспективное проецирование на некоторую двумерную плоскость. Полное перспективное преобразование приводит к искажению трехмерного тела, которое затем проецируется на некую плоскость в бесконечности, когда не лицевые плоскости уже определены. Этот результат эквивалентен перспективному проецированию из некоторого центра на конечную плоскость проекции.
Видовое преобразование можно применить к телу так, чтобы точка наблюдения оставалась фиксированной. При другом способе тело остается неподвижным. Соответствующие точка наблюдения и направление взгляда получаются умножением справа на матрицу, обратную матрице видового преобразования.
После определения нелицевых плоскостей остается найти нелицевые отрезки. Нелицевой отрезок образуется в результате пересечения пары нелицевых плоскостей. После первого этапа удаления нелицевых отрезков необходимовыяснить, существуют ли такие отрезки, которые экранируются другими телами на картинке или в сцене. Для этого каждый оставшийся отрезок или ребро нужно сравнить с другими телами сцены или картинки. При этом использование приоритетной сортировки (z–сортировки) и простого минимаксного или габаритного с прямоугольной объемлющей оболочкой тестов позволяет удалить целые группы или кластеры отрезков и тел. Например, если все тела в сцене упорядочены в некотором приоритетном списке, использующем значения z ближайших вершин для представления расстояниядо наблюдателя, то никакое тело из этого списка, у которого ближайшая вершина находится дальше от наблюдателя, чем самаяудаленная из концевых точек ребра, не может закрывать это ребро. Более того, ни одно из оставшихся тел, прямоугольная оболочка которого расположена полностью справа, слева, над или под ребром, не может экранировать это ребро. Использование этих приемов значительно сокращает число тел, с которыми нужно сравнивать каждый отрезок или ребро.
Для сравнения отрезка P1P2 с телом удобно использовать параметрическое представление этого отрезка:
Р(t) = P1 + (Р2 - P1)t0 £t£ 1
v = s + dt
где v - вектор точки на отрезке, s - начальная точка, d - направление отрезка. Необходимо определить, будет ли отрезок невидимым. Если он невидим, то надо найти те значения t, для которых он невидим. Для этого формируется другой параметрическийотрезок от точки Р(t) до точки наблюдения g:
Q(a,t)=u =v +ga = s +dt +ga 0 £t£1,a³ 0
Здесь a и t выполняют аналогичные функции. Заданное значение t указывает точку на отрезке P(t), а a указывает точку на отрезке, проведенном от точки P(t) до точки наблюдения. Фактически Q(a,t) представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Пара (a,t) определяет точку на этой плоскости. Значение a положительно, поскольку тела, экранирующиеP(t) могут находиться только в той части этой плоскости, которая заключена между отрезком P(t) и точкой наблюдения.
Скалярное произведение любой точки, лежащей внутри тела, на матрицу тела положительно. Если же точка лежит внутри тела, то она невидима. Поэтому для определения части отрезка, которая экранируется телом, достаточно найти те значения a и t, для которых скалярное произведение Q(a,t) = u на матрицу тела положительно.
3.9 Схема решения относительно aи t
Это скалярное произведение равно:
h = u * [VT] = s * [VT] + td * [VT] + ag * [VT] >0 0 £t£ 1, a³ 0
Если все компоненты h неотрицательны для некоторых t и a, отрезок при этих значениях t экранируется данным телом. Обозначим
p = s * [VT]
q = d * [VT]
w = g * [VT]
запишем условия в виде
hj = pj + tqj + awj0 £t£ 1, a³ 0
гдеj - номер столбца в матрице тела. Эти условия должнывыполняться при всех значениях j, т. е. для всех плоскостей, ограничивающих объем тела. Пограничный случай между видимостью и невидимостью возникает, когда hj = 0. При hj = 0 точка лежит на плоскости. Полагая hj = 0 длявсех плоскостей, мы получим систему уравнений относительно a и t, которые должны удовлетворяться одновременно. Результат можно получить путем совместного решения всевозможных пар уравнений из этой системы, при этом будут найдены все значения a и t, при которых изменяется значение видимости отрезка. Схема решения показана на рис. 3.10. Число возможных решений при j уравнениях (плоскостях) равно j(j- 1)/2. Каждое решение в диапазонах 0 £t£ 1, a³ 0, подставляется во все остальные уравнения для проверки того, что условие hj³ 0 выполнено. Поиск корректных решений производится для того, чтобы найти минимальное среди максимальных значений параметра t(tminmax)имаксимальное среди минимальных значений t(tmaxmin). Отрезок невидим при (tmaxmin) <t< (tminmax). Последнее требование является простым следствием из классической задачи линейного программирования.
Решение на границе a = 0 возникает в случае протыкания (объектов).
Один из приемов заключается в запоминании всех точек протыкания и в добавлении к сцене отрезков, связывающих эти точки. Отрезки образуются путем соединения каждой точки протыкания пары тел, связанных отношением протыкания, со всеми остальными точками протыкания для этой пары объектов. Затем проверяется экранирование этих отрезков даннымителами. Видимые отрезки образуют структуру протыкания.
Из практики известно, что решения удовлетворяющие неравенствам hj > 0, могут существовать и за пределами области, ограниченной условиями 0 £t£ 1 и a= 0. Поэтому три уравнения, описывающие эти границы, т.е. t = 0, t- 1 = 0 и a = 0, нужно добавить к множеству уравнений hj = 0. Теперьчисло решений равно (j + 2)(j + 3)/2, где j - количество плоскостей, ограничивающих выпуклый объем тела.
Как упоминалось ранее, выбор максимального из минимального и минимального из максимальных значений t среди возможных корректных решений указанной системы уравнений является простой задачей линейного программирования. Ее решение эквивалентно определению корректной ограниченной области, получающейся в результате графического решения. Предполагается, что этот алгоритм используется только для таких отрезков, о которых известно, что они частично или полностью невидимы. Все нелицевые и все полностью видимые отрезки выявлены и удалены до начала работы алгоритма. Алгоритм начинает работу с такими значениями t и a, которые являются решениями пары линейных уравнений с номерами е1 и е2, а также с tminи tmax (текущими минимальным и максимальным значениями t) и с n(мощностью множества уравнений). На первом этапе алгоритма проверяется выполнение условий hj > 0. Если эти условия выполнены, то на втором этапе вычисляются значения tminи tmax. Результатом являются значения tmaxminи tminmax.