Property Get Children(Index As Integer) As TreeNode
Set Children = m_Children(Index)
End Property
Property Get NumChildren() As Integer
NumChildren = m_NumChildren()
End Property
Второй подход состоит в том, чтобы сохранять ссылки на дочерние узлы в связных списках. Каждый узел содержит ссылку на первого потомка. Он также содержит ссылку на следующего потомка на том же уровне дерева. Эти связи образуют связный список узлов одного уровня, поэтому я называю этот метод представлением в виде связного списка узлов одного уровня (linked sibling). За информацией о связных списках вы можете обратиться ко 2 главе.
@Рис. 6.5. Дерево с узлами различных порядков
======121
Третий подход заключается в том, чтобы определить в классе узла открытую коллекцию, которая будет содержать дочерние узлы:
Public Children As New Collection
Это решение позволяет использовать все преимущества коллекций. Программа может при этом легко добавлять и удалять элементы из коллекции, присваивать дочерним узлам ключи, и использовать оператор For Each для выполнения циклов со ссылками на дочерние узлы.
Программа NAry, показанная на рис. 6.6, использует коллекцию дочерних узлов для работы с деревьями порядка N в основном таким же образом, как программа Binary работает с двоичными деревьями. В этой программе, тем не менее, можно добавлять к каждому узлу любое количество потомков.
Для того чтобы избежать чрезмерного усложнения пользовательского интерфейса, программа NAry всегда добавляет новые узлы в конец коллекции дочерних узлов родителя. Вы можете модифицировать эту программу, реализовав вставку дочерних узлов в середину коллекции, но пользовательский интерфейс при этом усложнится.
Представление нумерацией связей (forward star), впервые упомянутое в 4 главе, позволяет компактно представить деревья, графы и сети при помощи массива. Для представления дерева нумерацией связей, в массиве FirstLink записывается индекс для первых ветвей, выходящих из каждого узла. В другой массив, ToNode, заносятся узлы, к которым ведет ветвь.
Сигнальная метка в конце массива FirstLink указывает на точку сразу после последнего элемента массива ToNode. Это позволяет легко определить, какие ветви выходят из каждого узла. Ветви, выходящие из узла I, находятся под номерами от FirstLink(I) до FirstLink(I+1)-1. Для вывода связей, выходящих из узла I, можно использовать следующий код:
For link = FirstLink(I) To FirstLink(I + 1) - 1
Print Format$(I) & " -> " & Format$(ToNode(link))
Next link
@Рис. 6.6. Программа Nary
=======123
На рис. 6.7 показано дерево и его представление нумерацией связей. Связи, выходящие из 3 узла (обозначенного буквой D) это связи от FirstLink(3) до FirstLink(4)-1. Значение FirstLink(3) равно 9, а FirstLink(4) = 11, поэтому это связи с номерами 9 и 10. Записи ToNode для этих связей равны ToNode(9) = 10 и ToNode(10) = 11, поэтому узлы 10 и 11 будут дочерними для 3 узла. Это узлы, обозначенные буквами K и L. Это означает, что связи, покидающие узел D, ведут к узлам K и L.
Представление дерева нумерацией связей компактно и основано на массиве, поэтому деревья, представленные таким образом, можно легко считывать из файлов и записывать в файл. Операции для работы с массивами, которые используются при таком представлении, также могут быть быстрее, чем операции, нужные для использования узлов, содержащих коллекции дочерних узлов.
По этим причинам большая часть литературы по сетевым алгоритмам использует представление нумерацией связей. Например, многие статьи, касающиеся вычисления кратчайшего пути, предполагают, что данные находятся в подобном формате. Если вам когда‑либо придется изучать эти алгоритмы в журналах, таких как “Management Science” или “Operations Research”, вам необходимо разобраться в этом представлении.
@Рис. 6.7. Дерево и его представление нумерацией связей
=======123
Используя представление нумерацией связей, можно быстро найти связи, выходящие из определенного узла. С другой стороны, очень сложно изменять структуру данных, представленных в таком виде. Чтобы добавить к узлу A на рис. 6.7 еще одного потомка, придется изменить почти все элементы в обоих массивах FirstLink и ToNode. Во‑первых, каждый элемент в массиве ToNode нужно сдвинуть на одну позицию вправо, чтобы освободить место под новый элемент. Затем, нужно вставить новую запись в массив ToNode, которая указывает на новый узел. И, наконец, нужно обойти массив ToNode, обновив каждый элемент, чтобы он указывал на новое положение соответствующей записи ToNode. Поскольку все записи в массиве ToNode сдвинулись на одну позицию вправо, чтобы освободить место для новой связи, потребуется добавить единицу ко всем затронутым записям FirstLink.
На рис. 6.8 показано дерево после добавления нового узла. Записи, которые изменились, закрашены серым цветом.
Удаление узла из начала представления нумерацией связей так же сложно, как и вставка узла. Если удаляемый узел имеет потомков, процесс занимает еще больше времени, поскольку придется удалять и все дочерние узлы.
Относительно простой класс с открытой коллекцией дочерних узлов лучше подходит, если нужно часто модифицировать дерево. Обычно проще понимать и отлаживать процедуры, которые оперируют деревьями в этом представлении. С другой стороны, представление нумерацией связей иногда обеспечивает более высокую производительность для сложных алгоритмов работы с деревьями. Оно также являются стандартной структурой данных, обсуждаемой в литературе, поэтому вам следует ознакомиться с ним, если вы хотите продолжить изучение алгоритмов работы с сетями и деревьями.
@Рис. 6.8. Вставка узла в дерево, представленное нумерацией связей
=======124
Программа Fstar использует представление нумерацией связей для работы с деревом, имеющим узлы разного порядка. Она аналогична программе NAry, за исключением того, что она использует представление на основе массива, а не коллекций.
Если вы посмотрите на код программы Fstar, вы увидите, насколько сложно в ней добавлять и удалять узлы. Следующий код демонстрирует удаление узла из дерева.
Sub FreeNodeAndChildren(ByVal parent As Integer, _
ByVal link As Integer, ByVal node As Integer)
' Recursively remove the node's children.
Do While FirstLink(node) < FirstLink(node + 1)
FreeNodeAndChildren node, FirstLink(node), _
ToNode(FirstLink(node))
Loop
' Удалить связь.
RemoveLink parent, link
' Удалить сам узел.
RemoveNode node
End Sub
Sub RemoveLink(node As Integer, link As Integer)
Dim i As Integer
' Обновить записи массива FirstLink.
For i = node + 1 To NumNodes
FirstLink(i) = FirstLink(i) - 1
Next i
' Сдвинуть массив ToNode чтобы заполнить пустую ячейку.
For i = link + 1 To NumLinks - 1
ToNode(i - 1) = ToNode(i)
Next i
' Удалить лишний элемент из ToNode.
NumLinks = NumLinks - 1
If NumLinks > 0 Then ReDim Preserve ToNode(0 To NumLinks - 1)
End Sub
Sub RemoveNode(node As Integer)
Dim i As Integer
' Сдвинуть элементы массива FirstLink, чтобы заполнить
' пустую ячейку.
For i = node + 1 To NumNodes
FirstLink(i - 1) = FirstLink(i)
Next i
' Сдвинуть элементы массива NodeCaption.
For i = node + 1 To NumNodes - 1
NodeCaption(i - 1) = NodeCaption(i)
Next i
' Обновить записи массива ToNode.
For i = 0 To NumLinks - 1
If ToNode(i) >= node Then ToNode(i) = ToNode(i) - 1
Next i
' Удалить лишнюю запись массива FirstLink.
NumNodes = NumNodes - 1
ReDim Preserve FirstLink(0 To NumNodes)
ReDim Preserve NodeCaption(0 To NumNodes - 1)
Unload FStarForm.NodeLabel(NumNodes)
End Sub
Это намного сложнее, чем соответствующий код в программе NAry:
Public Function DeleteDescendant(target As NAryNode) As Boolean
Dim i As Integer
Dim child As NAryNode
' Является ли узел дочерним узлом.
For i = 1 To Children.Count
If Children.Item(i) Is target Then
Children.Remove i
DeleteDescendant = True
Exit Function
End If
Next i
' Если это не дочерний узел, рекурсивно
' проверить остальных потомков.
For Each child In Children
If child.DeleteDescendant(target) Then
DeleteDescendant = True
Exit Function
End If
Next child
End Function
=======125-126
Полное дерево (complete tree) содержит максимально возможное число узлов на каждом уровне, кроме нижнего. Все узлы на нижнем уровне сдвигаются влево. Например, каждый уровень троичного дерева содержит в точности три дочерних узла, за исключением листьев, и возможно, одного узла на один уровень выше листьев. На рис. 6.9 показаны полные двоичное и троичное деревья.
Полные деревья обладают рядом важных свойств. Во‑первых, это кратчайшие деревья, которые могут содержать заданное число узлов. Например, двоичное дерево на рис. 6.9 — одно из самых коротких двоичных деревьев с шестью узлами. Существуют другие двоичные деревья с шестью узлами, но ни одно из них не имеет высоту меньше 3.
Во‑вторых, если полное дерево порядка D состоит из N узлов, оно будет иметь высоту порядка O(logD(N)) и O(N) листьев. Эти факты имеют большое значение, поскольку многие алгоритмы обходят деревья сверху вниз или в противоположном направлении. Время выполнения алгоритма, выполняющего одно из этих действий, будет порядка O(N).
Чрезвычайно полезное свойство полных деревьев заключается в том, что они могут быть очень компактно записаны в массивах. Если пронумеровать узлы в «естественном» порядке, сверху вниз и слева направо, то можно поместить элементы дерева в массив в этом порядке. На рис. 6.10 показано, как можно записать полное дерево в массиве.
Корень дерева находится в нулевой позиции. Дочерние узлы узла I находятся на позициях 2 * I + 1 и 2 * I + 2. Например, на рис. 6.10, потомки узла в позиции 1 (узла B), находятся в позициях 3 и 4 (узлы D и E).
Легко обобщить это представление на полные деревья более высокого порядка D. Корень дерева также будет находиться в позиции 0. Потомки узла I занимают позиции от D * I + 1 до D * I +(I - 1). Например, в троичном дереве, потомки узла в позиции 2, будут занимать позиции 7, 8 и 9. На рис. 6.11 показано полное троичное дерево и его представление в виде массива.
@Рис. 6.9. Полные деревья
=========127
@Рис. 6.10. Запись полного двоичного дерева в массиве
При использовании этого метода записи дерева в массиве легко и просто получить доступ к потомкам узла. При этом не требуется дополнительной памяти для коллекций дочерних узлов или меток в случае представления нумерацией связей. Чтение и запись дерева в файл сводится просто к сохранению или чтению массива. Поэтому это несомненно лучшее представление дерева для программ, которые сохраняют данные в полных деревьях.