Последовательное обращение ко всем узлам называется обходом (traversing) дерева. Существует несколько последовательностей обхода узлов двоичного дерева. Три простейших из них — прямой (preorder), симметричный (inorder), и обратный (postorder)обход, описываются простыми рекурсивными алгоритмами. Для каждого заданного узла алгоритмы выполняют следующие действия:
Прямой обход:
1. Обращение к узлу.
2. Рекурсивный прямой обход левого поддерева.
3. Рекурсивный прямой обход правого поддерева.
Симметричный обход:
1. Рекурсивный симметричный обход левого поддерева.
2. Обращение к узлу.
3. Рекурсивный симметричный обход левого поддерева.
Обратный обход:
1. Рекурсивный обратный обход левого поддерева.
2. Рекурсивный обратный обход правого поддерева.
3. Обращение к узлу.
@Рис. 6.11. Запись полного троичного дерева в массиве
=======128
Все три порядка обхода являются примерами обхода в глубину (depth‑first traversal). Обход начинается с прохода вглубь дерева до тех пор, пока алгоритм не достигнет листьев. При возврате из рекурсивного вызова подпрограммы, алгоритм перемещается по дереву в обратном направлении, просматривая пути, которые он пропустил при движении вниз.
Обход в глубину удобно использовать в алгоритмах, которые должны вначале обойти листья. Например, метод ветвей и границ, описанный в 8 главе, как можно быстрее пытается достичь листьев. Он использует результаты, полученные на уровне листьев для уменьшения времени поиска в оставшейся части дерева.
Четвертый метод перебора узлов дерева — это обход в ширину (breadth‑first traversal). Этот метод обращается ко всем узлам на заданном уровне дерева, перед тем, как перейти к более глубоким уровням. Алгоритмы, которые проводят полный поиск по дереву, часто используют обход в ширину. Алгоритм поиска кратчайшего маршрута с установкой меток, описанный в 12 главе, представляет собой обход в ширину, дерева кратчайшего пути в сети.
На рис. 6.12 показано небольшое дерево и порядок, в котором перебираются узлы во время прямого, симметричного и обратного обхода, а также обхода в ширину.
@Рис. 6.12. Обходы дерева
======129
Для деревьев больше, чем 2 порядка, все еще имеет смысл определять прямой, обратный обход, и обход в ширину. Симметричный обход определяется неоднозначно, так как обращение к каждому узлу может происходить после обращения к одному, двум, или трем его потомкам. Например, в троичном дереве, обращение к узлу может происходить после обращения к его первому потомку или после обращения ко второму потомку.
Детали реализации обхода зависят от того, как записано дерево. Для обхода дерева на основе коллекций дочерних узлов, программа должна использовать несколько другой алгоритм, чем для обхода дерева, записанного при помощи нумерации связей.
Особенно просто обходить полные деревья, записанные в массиве. Алгоритм обхода в ширину, который требует дополнительных усилий в других представлениях деревьев, для представлений на основе массива тривиален, так как узлы записаны в таком же порядке.
Следующий код демонстрирует алгоритмы обхода полного двоичного дерева:
Dim NodeLabel() As String ' Запись меток узлов.
Dim NumNodes As Integer
' Инициализация дерева.
:
Private Sub Preorder(node As Integer)
Print NodeLabel (node) ' Узел.
' Первый потомок.
If node * 2 + 1 <= NumNodes Then Preorder node * 2 + 1
' Второй потомок.
If node * 2 + 2 <= NumNodes Then Preorder node * 2 + 2
End Sub
Private Sub Inorder(node As Integer)
' Первый потомок.
If node * 2 + 1 <= NumNodes Then Inorder node * 2 + 1
Print NodeLabel (node) ' Узел.
' Второй потомок.
If node * 2 + 2 <= NumNodes Then Inorder node * 2 + 2
End Sub
Private Sub Postorder(node As Integer)
' Первый потомок.
If node * 2 + 1 <= NumNodes Then Postorder node * 2 + 1
' Второй потомок.
If node * 2 + 2 <= NumNodes Then Postorder node * 2 + 2
Print NodeLabel (node) ' Узел.
End Sub
Private Sub BreadthFirstPrint()
Dim i As Integer
For i = 0 To NumNodes
Print NodeLabel(i)
Next i
End Sub
======130
Программа Trav1 демонстрирует прямой, симметричный и обратный обходы, а также обход в ширину для двоичных деревьев на основе массивов. Введите высоту дерева, и нажмите на кнопку Create Tree (Создать дерево) для создания полного двоичного дерева. Затем нажмите на кнопки Preorder (Прямой обход), Inorder (Симметричный обход), Postorder (Обратный обход) или Breadth-First (Обход в ширину) для того, чтобы увидеть, как происходит обход дерева. На рис. 6.13 показано окно программы, в котором отображается прямой обход дерева 4 порядка.
Прямой и обратный обход для других представлений дерева осуществляется так же просто. Следующий код демонстрирует процедуру прямого обхода для дерева, записанного в формате с нумерацией связей:
Private Sub PreorderPrint(node As Integer)
Dim link As Integer
Print NodeLabel(node)
For link = FirstLink(node) To FirstLink(node + 1) - 1
PreorderPrint ToNode (link)
Next link
End Sub
@Рис. 6.13. Пример прямого обхода дерева в программе Trav1
=======131
Как упоминалось ранее, сложно дать определение симметричного обхода для деревьев больше 2 порядка. Тем не менее, после того, как вы поймете, что имеется в виду под симметричным обходом, реализовать его достаточно просто. Следующий код демонстрирует процедуру симметричного обхода, которая обращается к половине потомков узла (с округлением в большую сторону), затем к самому узлу, а потом — к остальным потомкам.
Private Sub InorderPrint(node As Integer)
Dim mid_link As Integer
Dim link As Integer
' Найти средний дочерний узел.
mid_link - (FirstLink(node + 1) - 1 + FirstLink(node)) \ 2
' Обход первой группы потомков.
For link = FirstLink(node) To mid_link
InorderPrint ToNode(link)
Next link
' Обращение к узлу.
Print NodeLabel(node)
' Обход второй группы потомков.
For link = mid_link + 1 To FirstLink(node + 1) - 1
InorderPrint ToNode(link)
Next link
End Sub
Для полных деревьев, записанных в массиве, узлы уже находятся в порядке обхода в ширину. Поэтому обход в ширину для этих типов деревьев реализуется просто, тогда как для других представлений реализовать его несколько сложнее.
Для обхода деревьев других типов можно использовать очередь для хранения узлов, которые еще не были обойдены. Вначале поместим в очередь корневой узел. После обращения к узлу, он удаляется из начала очереди, а его потомки помещаются в ее конец. Процесс повторяется до тех пор, пока очередь не опустеет. Следующий код демонстрирует процедуру обхода в ширину для дерева, которое использует узлы с коллекциями потомков:
Dim Root As TreeNode
' Инициализация дерева.
:
Private Sub BreadthFirstPrint(}
Dim queue As New Collection ' Очередь на основе коллекций.
Dim node As TreeNode
Dim child As TreeNode
' Начать с корня дерева в очереди.
queue.Add Root
' Многократная обработка первого элемента
' в очереди, пока очередь не опустеет.
Do While queue.Count > 0
node = queue.Item(1)
queue.Remove 1
' Обращение к узлу.
Print NodeLabel(node)
' Поместить в очередь потомков узла.
For Each child In node.Children
queue.Add child
Next child
Loop
End Sub
=====132
Программа Trav2 демонстрирует обход деревьев, использующих коллекции дочерних узлов. Программа является объединением программ Nary, которая оперирует деревьями порядка N, и программы Trav1, которая демонстрирует обходы деревьев.
Выберите узел, и нажмите на кнопку Add Child (Добавить дочерний узел), чтобы добавить к узлу потомка. Нажмите на кнопки Preorder, Inorder, Postorder или Breadth First, чтобы увидеть примеры соответствующих обходов. На рис. 6.14 показана программа Trav2, которая отображает обратный обход.
Двоичные деревья часто являются естественным способом представления и обработки данных в компьютерных программах. Поскольку многие компьютерные операции являются двоичными, они естественно преобразуются в операции с двоичными деревьями. Например, можно преобразовать двоичное отношение «меньше» в двоичное дерево. Если использовать внутренние узлы дерева для обозначения того, что «левый потомок меньше правого» вы можете использовать двоичное дерево для записи упорядоченного списка. На рис. 6.15 показано двоичное дерево, содержащее упорядоченный список с числами 1, 2, 4, 6, 7, 9.
@Рис. 6.14. Пример обратного обхода дерева в программе Trav2
======133
@Рис. 6.15. Упорядоченный список: 1, 2, 4, 6, 7, 9.
Алгоритм вставки нового элемента в дерево такого типа достаточно прост. Начнем с корневого узла. По очереди сравним значения всех узлов со значением нового элемента. Если значение нового элемента меньше или равно значению узла, перейдем вниз по левой ветви дерева. Если новое значение больше, чем значение узла, перейдем вниз по правой ветви. Когда этот процесс дойдет до листа, элемент помещается в эту точку.
Чтобы поместить значение 8 в дерево, показанное на рис. 6.15, мы начинаем с корня, который имеет значение 4. Поскольку 8 больше, чем 4, переходим по правой ветви к узлу 9. Поскольку 8 меньше 9, переходим затем по левой ветви к узлу 7. Поскольку 8 больше 7, снова пытаемся пойти по правой ветви, но у этого узла нет правого потомка. Поэтому новый элемент вставляется в этой точке, и получается дерево, показанное на рис. 6.16.
Следующий код добавляет новое значение ниже узла в упорядоченном дереве. Программа начинает вставку с корня, вызывая процедуру InsertItem Root, new_value.
Private Sub InsertItem(node As SortNode, new_value As Integer)
Dim child As SortNode
If node Is Nothing Then
' Мы дошли до листа.
' Вставить элемент здесь.
Set node = New SortNode
node.Value = new_value
MaxBox = MaxBox + 1
Load NodeLabel(MaxBox)
Set node.Box = NodeLabel(MaxBox)
With NodeLabel(MaxBox)
.Caption = Format$(new_value)
.Visible = True
End With
ElseIf new_value <= node.Value Then
' Перейти по левой ветви.
Set child = node.LeftChild
InsertItem child, new_value
Set node.LeftChild = child
Else
' Перейти по правой ветви.
Set child = node.RightChild
InsertItem child, new_value
Set node.RightChild = child
End If
End Sub
Когда эта процедура достигает конца дерева, происходит нечто совсем неочевидное. В Visual Basic, когда вы передаете параметр подпрограмме, этот параметр передается по ссылке, если вы не используете зарезервированное слово ByVal. Это означает, что подпрограмма работает с той же копией параметра, которую использует вызывающая процедура. Если подпрограмма изменяет значение параметра, значение в вызывающей процедуре также изменяется.