Баричев С. Криптография без секретов (стр. 2 из 11)

Симметричные криптосистемы

Все многообразие существующих криптографических методов можно свести к следующим классам преобразований:

Моно- и многоалфавитные подстановки.

Наиболее простой вид преобразований, заключающийся в замене символов исходного текста на другие (того же алфавита) по более или менее сложному правилу. Для обеспечения высокой криптостойкости требуется использование больших ключей.

Перестановки.

Также несложный метод криптографического преобразования. Используется как правило в сочетании с другими методами.

Гаммирование.

Этот метод заключается в наложении на исходный текст некоторой псевдослучайной последовательности, генерируемой на основе ключа.

Блочные шифры.

Представляют собой последовательность (с возможным повторением и чередованием) основных методов преобразования, применяемую к блоку (части) шифруемого текста. Блочные шифры на практике встречаются чаще, чем “чистые” преобразования того или иного класса в силу их более высокой криптостойкости. Российский и американский стандарты шифрования основаны именно на этом классе шифров.

Перестановки

Перестановкой s набора целых чисел (0,1,...,N-1) называется его переупорядочение. Для того чтобы показать, что целое i перемещено из позиции i в позицию s(i), где 0 £ (i) < n, будем использовать запись

s=(s(0), s(1),..., s(N-1)).

Число перестановок из (0,1,...,N-1) равно n!=1*2*...*(N-1)*N. Введем обозначение s для взаимно-однозначного отображения (гомоморфизма) набора S={s₀,s₁, ...,s_N-1}, состоящего из n элементов, на себя.

s: S ® S

s: s_i ® s_s(i), 0 £ i < n

Будем говорить, что в этом смысле s является перестановкой элементов S. И, наоборот, автоморфизм S соответствует перестановке целых чисел (0,1,2,.., n-1).

Криптографическим преобразованием T для алфавита Z_m называется последовательность автоморфизмов: T={T⁽ⁿ⁾:1£n<¥}

T⁽ⁿ⁾: Z_m,n®Z_m,n, 1£n<¥

Каждое T⁽ⁿ⁾ является, таким образом, перестановкой n-грамм из Z_m,n.

Поскольку T⁽ⁱ⁾ и T^(j) могут быть определены независимо при i¹j, число криптографических преобразований исходного текста размерности n равно (mⁿ)![2]. Оно возрастает непропорционально при увеличении m и n: так, при m=33 и n=2 число различных криптографических преобразований равно 1089!. Отсюда следует, что потенциально существует большое число отображений исходного текста в шифрованный.

Практическая реализация криптографических систем требует, чтобы преобразования {T_k: kÎK} были определены алгоритмами, зависящими от относительно небольшого числа параметров (ключей).

Системы подстановок

Определение Подстановкой p на алфавите Z_m называется автоморфизм Z_m, при котором буквы исходного текста t замещены буквами шифрованного текста p(t):

Z_m - Z_m; p: t - p(t).

Набор всех подстановок называется симметрической группой Z_m è будет в дальнейшем обозначаться как SYM(Z_m).

Утверждение SYM(Z_m) c операцией произведения является группой, т.е. операцией, обладающей следующими свойствами:

Замкнутость: произведение подстановок p₁p₂ является подстановкой:

p: t-p₁(p₂(t)).

Ассоциативность: результат произведения p₁p₂p₃ не зависит от порядка расстановки скобок:

(p₁p₂)p₃=p₁(p₂p₃)

Существование нейтрального элемента: постановка i, определяемая как i(t)=t, 0£t<m, является нейтральным элементом SYM(Z_m) по операции умножения: ip=pi для "pÎSYM(Z_m).

Существование обратного: для любой подстановки p существует единственная обратная подстановка p^-1, удовлетворяющая условию

pp^‑1=p^‑1p=i.

Число возможных подстановок в симметрической группе Z_m называется порядком SYM(Z_m) и равно m! .

Определение. Ключом подстановки k для Z_m называется последовательность элементов симметрической группы Z_m:

k=(p₀,p₁,...,p_n-1,...), p_nÎSYM(Z_m), 0£n<¥

Подстановка, определяемая ключом k, является криптографическим преобразованием T_k, при помощи которого осуществляется преобразование n-граммы исходного текста (x₀ ,x₁ ,..,x_n-1) в n-грамму шифрованного текста (y₀ ,y₁ ,...,y_n-1):

y_i=p(x_i), 0£i<n

где n – произвольное (n=1,2,..). T_k называется моноалфавитной подстановкой, если p неизменно при любом i, i=0,1,..., в противном случае T_k называется многоалфавитной подстановкой.

Примечание. К наиболее существенным особенностям подстановки T_k относятся следующие:

1. Исходный текст шифруется посимвольно. Шифрования n-граммы (x₀ ,x₁ ,..,x_n-1) и ее префикса (x₀ ,x₁ ,..,x_s-1) связаны соотношениями

T_k(x₀ ,x₁ ,..,x_n-1)=(y₀ ,y₁ ,...,y_n-1)

T_k(x₀ ,x₁ ,..,x_s-1)=(y₀ ,y₁ ,...,y_s-1)

2. Буква шифрованного текста y_i является функцией только i-й компоненты ключа p_i и i-й буквы исходного текста x_i.

Подстановка Цезаря

Подстановка Цезаря является самым простым вариантом подстановки. Она относится к группе моноалфавитных подстановок.

Определение. Подмножество C_m={C_k: 0£k<m} симметрической группы SYM(Z_m), содержащее m подстановок

C_k: j®(j+k) (mod m), 0£k < m,

называется подстановкой Цезаря.

Умножение коммутативно, C_kC_j=C_jC_k=C_j+k, C₀ – идентичная подстановка, а обратной к C_к является C_k^-1=C_m-k, где 0<k<m. Семейство подстановок Цезаря названо по имени римского императора Гая Юлия Цезаря, который поручал Марку Туллию Цицерону составлять послания с использованием 50-буквенного алфавита и подстановки C₃.

Подстановка определяется по таблице замещения, содержащей пары соответствующих букв “исходный текст – шифрованный текст”. Для C₃ подстановки приведены в Табл. 1. Стрелка (-) означает, что буква исходного текста (слева) шифруется при помощи C₃ в букву шифрованного текста (справа).

Определение. Системой Цезаря называется моноалфавитная подстановка, преобразующая n-грамму исходного текста (x₀, x₁ ,..,x_n-1) в n‑грамму шифрованного текста (y₀ ,y₁ ,...,y_n-1) в соответствии с правилом

y_i=C_k(x_i), 0£i<n.

Например, ВЫШЛИТЕ_НОВЫЕ_УКАЗАНИЯ посредством подстановки C₃ преобразуется в еюыолхиврсеюивцнгкгрлб.

Таблица 1.

А-г	Й-м	Т-х	Ы-ю
Б-д	К-н	У-ц	Ь-я
В-е	Л-о	Ф-ч	Э-_
Г-ж	М-п	Х-ш	Ю-а
Д-з	Н-р	Ц-щ	Я-б
Е-и	О-с	Ч-ъ	_-в
Ж-й	П-т	Ш-ы
З-к	Р-у	Щ-ь
И-л	С-ф	Ъ-э

При своей несложности система легко уязвима. Если злоумышленник имеет

1) шифрованный и соответствующий исходный текст или

2) шифрованный текст выбранного злоумышленником исходного текста,

то определение ключа и дешифрование исходного текста тривиальны.

Более эффективны обобщения подстановки Цезаря - шифр Хилла и шифр Плэйфера. Они основаны на подстановке не отдельных символов, а 2-грамм (шифр Плэйфера) или n-грамм[3] (шифр Хилла). При более высокой криптостойкости они значительно сложнее для реализации и требуют достаточно большого количества ключевой информации.

Многоалфавитные системы. Системы одноразового использования.

Слабая криптостойкость моноалфавитных подстановок преодолевается с применением подстановок многоалфавитных.

Многоалфавитная подстановка определяется ключом p=(p₁,
p₂, ...), содержащим не менее двух различных подстановок. В начале рассмотрим многоалфавитные системы подстановок с нулевым начальным смещением.

Пусть {K_i: 0£i<n} - независимые случайные переменные с одинаковым распределением вероятностей, принимающие значения на множестве Z_m

Pкл{(K₀, K₁, ..., K_n-1)=(k₀, k₁, ..., k_n-1)}=(1/m)ⁿ

Система одноразового использования преобразует исходный текст

X=(X₀, x₁, ..., x_n-1)

в шифрованный текст

Y=(Y₀, y₁, ..., y_n-1)

при помощи подстановки Цезаря

Y_i=C_Ki(x_i)=(K_i+X_i) (mod m) i=0...n-1 (1)

Для такой системы подстановки используют также термин “одноразовая лента” и “одноразовый блокнот”. Пространство ключей К системы одноразовой подстановки является вектором рангов (K₀, K₁, ..., K_n-1) и содержит mⁿ точек.