Предположим, что исходный текст
x =(x0, x1, ..., xn-1), xÎZn , 0 £ i < n,
сначала представлен по основанию ni :
N = c0+ci ni+....
Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi,ni :
N ® Edi,ni n = n’.
Пользователь j производит дешифрование n’, применяя Eei,ni :
N’ ® Eei,ni n’= Eei,ni Edi,ni n = n .
Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi,ni по отношению к Eei,ni, требуется знание множителей n=pi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.
Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.
Пример Зашифруем сообщение “САВ”. Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).
1. Выберем p=3 и q=11.
2. Определим n=3*11=33.
3. Найдем (p-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое с 20, например, d=3.
4. Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.
5. Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А®1, В®2, С®3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.
ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,
ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,
ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.
6. Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:
ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,
ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,
ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.
Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (p и q) устанавливается n.
{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).
Открытый ключ публикуется и доступен каждому, кто желает послать владельцу ключа сообщение, которое зашифровывается указанным алгоритмом. После шифрования, сообщение невозможно раскрыть с помощью открытого ключа. Владелец же закрытого ключа без труда может расшифровать принятое сообщение.
В настоящее время алгоритм RSA активно реализуется как в виде самостоятельных криптографических продуктов[8], так и в качестве встроенных средств в популярных приложениях[9].
Важная проблема практической реализации - генерация больших простых чисел. Решение задачи «в лоб» - генерация случайного большого числа n (нечетного) и проверка его делимости на множители от 3 вплоть до n0.5. В случае неуспеха следует взять n+2 и так далее.[10]
В принципе в качестве p и q можно использовать «почти» простые числа, то есть числа для которых вероятность того, что они простые, стремится к 1. Но в случае, если использовано составное число, а не простое, криптостойкость RSA падает. Имеются неплохие алгоритмы, которые позволяют генерировать «почти» простые числа с уровнем доверия 2-100.
Другая проблема - ключи какой длины следует использовать?
Для практической реализации алгоритмов RSA полезно знать оценки трудоемкости разложения простых чисел различной длины, сделанные Шроппелем.
| log10 n | Число операций | Примечания |
| 50 | 1.4*1010 | Раскрываем на суперкомпьютерах |
| 100 | 2.3*1015 | На пределе современных технологий |
| 200 | 1.2*1023 | За пределами современных технологий |
| 400 | 2.7*1034 | Требует существенных изменений в технологии |
| 800 | 1.3*1051 | Не раскрываем |
В конце 1995 года удалось практически реализовать раскрытие шифра RSA для 500-значного ключа. Для этого с помощью сети Интернет было задействовано 1600 компьютеров.
Сами авторы RSA рекомендуют использовать следующие размеры модуля n:
· 768 бит - для частных лиц;
· 1024 бит - для коммерческой информации;
· 2048 бит - для особо секретной информации.[11]
Третий немаловажный аспект реализации RSA - вычислительный. Ведь приходится использовать аппарат длинной арифметики. Если используется ключ длиной k бит, то для операций по открытому ключу требуется О(k2) операций, по закрытому ключу - О(k3) операций, а для генерации новых ключей требуется О(k4) операций.
Криптографический пакет BSAFE 3.0 (RSA D.S.) на компьютере Pentium-90 осуществляет шифрование со скоростью 21.6 Кбит/c для 512-битного ключа и со скоростью 7.4 Кбит/c для 1024 битного. Самая «быстрая» аппаратная реализация обеспечивает скорости в 60 раз больше.
По сравнению с тем же алгоритмом DES, RSA требует в тысячи и десятки тысяч раз большее время.
Данная система является альтернативой RSA и при равном значении ключа обеспечивает ту же криптостойкость[12].
В отличие от RSA метод Эль-Гамаля основан на проблеме дискретного логарифма. Этим он похож на алгоритм Диффи-Хелмана. Если возводить число в степень в конечном поле достаточно легко, то восстановить аргумент по значению (то есть найти логарифм) довольно трудно.
Основу системы составляют параметры p и g - числа, первое из которых - простое, а второе - целое.
Александр генерирует секретный ключ а и вычисляет открытый ключ y = gа mod p. Если Борис хочет послать Александру сообщение m, то он выбирает случайное число k, меньшее p и вычисляет
y1 = gkmod p и
y2 = m Å yk,
где Å означает побитовое сложение по модулю 2. Затем Борис посылает (y1,y2) Александру.
Александр, получив зашифрованное сообщение, восстанавливает его:
m = (y1a mod p) Å y2.
Алгоритм цифровой подписи DSA, разработанный NIST (National Institute of Standard and Technology) и являющийся частью стандарта DSS частично опирается на рассмотренный метод.
Эллиптические кривые - математический объект, который может определен над любым полем (конечным, действительным, рациональным или комплексным). В криптографии обычно используются конечные поля. Эллиптическая кривая есть множество точек (x,y), удовлетворяющее следующему уравнению:
y2 = x3 + ax + b,
а также бесконечно удаленная точка. Для точек на кривой довольно легко вводится операция сложения, которая играет ту же роль, что и операция умножения в криптосистемах RSA и Эль-Гамаля.
В реальных криптосистемах на базе эллиптических уравнений используется уравнение
y2 = x3 + ax + b mod p,
где р - простое.
Проблема дискретного логарифма на эллиптической кривой состоит в следующем: дана точка G на эллиптической кривой порядка r (количество точек на кривой) и другая точка Y на этой же кривой. Нужно найти единственную точку x такую, что Y = xG, то есть Y есть х-я степень G.
В чем состоит проблема аутентификации данных?
В конце обычного письма или документа исполнитель или ответственное лицо обычно ставит свою подпись. Подобное действие обычно преследует две цели. Во-первых, получатель имеет возможность убедиться в истинности письма, сличив подпись с имеющимся у него образцом. Во-вторых, личная подпись является юридическим гарантом авторства документа. Последний аспект особенно важен при заключении разного рода торговых сделок, составлении доверенностей, обязательств и т.д.
Если подделать подпись человека на бумаге весьма непросто, а установить авторство подписи современными криминалистическими методами - техническая деталь, то с подписью электронной дело обстоит иначе. Подделать цепочку битов, просто ее скопировав, или незаметно внести нелегальные исправления в документ сможет любой пользователь.
С широким распространением в современном мире электронных форм документов (в том числе и конфиденциальных) и средств их обработки особо актуальной стала проблема установления подлинности и авторства безбумажной документации.
В разделе криптографических систем с открытым ключом было показано, что при всех преимуществах современных систем шифрования они не позволяют обеспечить аутентификацию данных. Поэтому средства аутентификации должны использоваться в комплексе и криптографическими алгоритмами.
Итак, пусть имеются два пользователя Александр и Борис. От каких нарушений и действий злоумышленника должна защищать система аутентификации.