Линейное программирование: решение задач графическим способом (стр. 2 из 5)
Пусть в системе (**) - (***) п > 3, тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью аi1х1 + аi2х2 + … + аinхn ≤ bi i = 1, т , а условия неотрицательности — полупространства с граничными гиперплоскостями xj = 0, j = 1, n.Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.
Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.
1.3 Этапы решения графического метода задач линейного программирования
Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.
Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.
Этап 1.
Сначала на координатной плоскости x1Ox2 строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:
 | (1.31) |
Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут получится.
1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 3а)).
2. Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 3.б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение
. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником. 
 | (1.32) |
Решение:
1. Рассмотрим прямую
. При 
, а при 
. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря 
получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.а.2. Рассмотрим прямую
. При 
, а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как 
(4.б).3. Наконец, рассмотри
м прямую 
. Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.в. 
Сводя все вместе и добавляя условия
получим рисунок 5, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1.32). Обратите внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника.Этап 2.
Вернёмся теперь к исходной задаче линейного программирования. В ней, кроме системы неравенств, есть еще целевая функция 
.
, так как это - вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции 
.
, которые являются планами.
 | (1.41) |
Решение
Допустимую область мы уже строили - она изображена на рис. 5.
Повторим еще раз этот рисунок, оставив только допустимую область и
нарисовав дополнительно прямые
(см. рис. 8). 
проходит через точки (2,0) и (0,1) и изображена на рис. 8. Будем теперь увеличивать L. Тогда прямая начнёт двигаться параллельно самой себе в направлении, указанном стрелкой. Легко догадаться, что максимальное значение L получится тогда, когда прямая пройдет через вершину многоугольника, указанную на рисунке, и дальнейшее увеличение L приведет к тому, что прямая выйдет за пределы многоугольника и её пересечение с допустимой областью будет пустым.
. Это и есть решение нашей задачи, т.е. 
, что и дает её максимальное значение.