x(p)=
4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 2-му случаю (среди вещественных корней есть один нулевой корень).
c1(-1)=
c2(-2)=
c3(-4)=
c0(0)=
Проверка: c1+c2+c3+c0=0.1666 -0.5 -0.2084 +0.125=0.
5. Изображение регулируемого параметра.
x(p)=
6. Уравнение весовой функции согласно формулам №3 и №5 табл.1 (задание 4).
x(t)=0.125+0.1666*e-t-0.5*e-2t-0.2084*e-4t.
Примечание. Учитывая, что производная по уравнению переходной функции дает уравнение весовой функции, сравним полученные решения в примере №6 с решение в примере №5.
x’(t)=0+(-1)*0.1666*e-t-(-2)*0.5*e-2t+(-4)*0.2084*e-4t=
= -0.1666*e-t+e-2t-0.8336*e-4t.
ПРИМЕР 7. Определить уравнение переходной функции, если ПФ имеет вид:
W(p)=
РЕШЕНИЕ.
1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что u(p)=.
x(p)=
2. Определяем корни характеристического уравнения.
p1=0 p2,3=-3±j4 p4=-2
3. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.
x(p)=
4. Коэффициенты разложения ci будем определять согласно 3-му случаю (среди ²n² действительных корней есть комплексно-сопряженные).
c0(p1=0)=
c1(p2=-3±j4)=
Для возведения в квадрат комплексного числа (-3+j4) представим его в показательной форме.
Полученное комплексное число в показательной форме представим в алгебраической форме.
25*ej*253°36’=
=25*cos253°36’+j*25*sin 253°36’=25*(-0.28401)+j*25*(-0.95882)=
=-7.100-j*23.970.
ПРИМЕЧАНИЕ. Возведение в квадрат можно произвести и без представления его в показательной форме:
(a+jb)3=(a3-3ab2)+j(3a2b-b3).
(-3+j4)2=((-3)2-42)+2*(-3)*j4=-7-j24.
Продолжаем определять c1(p2).
c1(p2=-3+j4)=
=
Так как третий корень p3= -3-j4 комплексно-сопряженный со вторым p2= -3+j4, то значение c2(p3) будет отличаться от c1(p2) только знаком степени e.
c2(p3=-3+j4)=1.877*e-j*111°06’.
Определяем значение c3(p4=-2).
5. Изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c0,c1,c2,c3.
x(p)=
6. Уравнение переходной функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу (см. табл.1 задание 4).
x(t)=10-11.33*e-2t+1.877*e+j111°*e(-3+4j)*t+1.877*e-j111°*e(-3-4j)*t=
=10-11.33*e-2t+1.877*(e+j*(111°+4t)+e-j*(111°+4t))*e-3t.
Выражение в скобках преобразуем согласно формуле Эйлера.
(e+ja+e-ja)=2*cosa
x(t)=10-11.33*e-2t+1.877*e-3t*2*cos(4t+111°)=
=10-11.33*e-2t+3.75*e-3t*cos(4t-1.204).
Примечание. cos(111°)= -cos(180°-111°)= -cos(-69°)= -cos(-1.204), где 1.204 угол в радианах от j=69°.
Проверим правильность вычисления коэффициентов c.
При t=0 значение x(t=0)=0, т.к. начальные условия нулевые.
x(t)=10-11.33*1+3.75*1*cos(-1.2)=-1.33+3.75*0.3583=-1.33+1.343=0.
Условия выполняются в пределах точности вычисления.
6.Уравнение переходной функции.
x(t)=10-11.33*e-2t+3.75*e-3t*cos(4t-1.204).
ПРИМЕР 8. Определить уравнение весовой функции по ПФ примера №7:
W(p)=
РЕШЕНИЕ.
1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(p)=1.
x(p)=
2. Определяем корни характеристического уравнения.
p1= -2 p2,3= -3±j4.
4. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.
x(p)=
5. Определяем коэффициенты разложения c.
c1(p1=-2)=
c2(p2=-3+j4)=
c3(p3)=-3-j4=7.45*e+j*137°54’.
5. Представим изображение по Лапласу регулируемого параметра в виде простых дробей с учетом полученных значений c1,c2,c3.
x(p)=
6. Уравнение весовой функции получаем путем проведения обратного преобразования по Лапласу.
x(t)=22.66*e-2t+7.45*e-j*137°54’*e(-3-j4)*t+7.45*ej*137°94’*e(3+j4)*t=
=22.66*e-2t+7.45+7.45*e-3t*(ej*(-137°54’+4t)+e-j*(-137°54’+4t))=
=22.66*e-2t+14.9*e-3t*cos(4t-2.4),
где 2.4 угол в радианах от j=-137°54’.
2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ.
Определить уравнение переходного процесса по заданной П.Ф.
W(p)=
Значения коэффициентов k и Тi показано в таблице 1.
Таблица 1 - Значение коэффициентов k и Т для задания 5.
| № варианта | Вид воздействия | k | T1 | T2 | T3 | T4 |
| 1 | 1(t) | 2 | 0.25 | 0.005 | 0.07 | 0.325 |
| 2 | 1(t) | 4 | 0.3 | 0.00625 | 0.03 | 0.325 |
| 3 | 1(t) | 5 | 0.16 | 0.0 | 0.05 | 0.4 |
| 4 | 1(t) | 3 | 0.12 | 0.0077 | 0.107 | 0.4 |
| 5 | 1(t) | 10 | 0.24 | 0.015 | 0.21 | 0.8 |
| 6 | 1’(t) | 6 | 0.15 | 0.03 | 0.4 | 1.2 |
| 7 | 1’(t) | 8 | 0.2 | 0.002 | 0.04 | 0.18 |
| 8 | 1’(t) | 4 | 0.08 | 0.012 | 0.16 | 0.62 |
| 9 | 1’(t) | 4 | 0.72 | 0.018 | 0.18 | 2.2 |
| 10 | 1’(t) | 2 | 0.32 | 0.01 | 0.06 | 0.92 |
3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
1. Записать передаточную функцию, вид управляющего воздействия согласно варианту задания.
2. Определяется регулируемый параметр в изображении по Лапласу.
3. Определить корни.
4. Разложить изображение по Лапласу регулируемой величины на простейшие дроби.
5. Определить коэффициенты разложения C.
6. Преобразовать простейшие дроби с комплексными корнями к виду, удобному для проведения обратного преобразования по Лапласу по первому и второму варианту.
7. Получить уравнение переходного процесса при нулевых начальных условиях.
4. СОДЕРЖЕНИЕ ОТЧЕТА ПО ВЫПОЛНЕНОЙ РАБОТЕ.
В отчете должно быть показано:
1. Заданная ПФ.
2. Вид воздействия.
3. Начальные условия.
4. Изображение по Лапласу регулируемого параметра.
5. Определение корней.
6. Представление регулируемого параметра через простые дроби.
7. Вычисление коэффициентов разложения.
8. Уравнение переходного процесса.
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как выглядит изображение по Лапласу регулируемого параметра при импульсном воздействии, если u(t)=4.
2. Как выглядит изображение по Лапласу регулируемого параметра при скачкообразном воздействии, если u(t)=4(t).
3. Как определяется изображение по Лапласу регулируемого параметра, если u’(t)=4t.
4. Какой вид имеет переходный процесс при скачкообразном воздействии, если корни вещественные отрицательные.
5. Какой вид имеет переходный процесс, если корни чисто мнимые.
6. Какой вид имеет переходный процесс, если корни комплексные.
7. Какой вид имеет переходный процесс, если корни вещественные положительные.
8. Как в первом приближении можно определить корни характеристического уравнения.
9. Как во втором приближении можно определить корни характеристического уравнения.
10. Что делать, если при определении корней процесс расходится.
11. Как определяются коэффициенты разложения, если корни вещественные и разные.
12. Как определяются коэффициенты разложения, если есть один корень равный нулю.
13. Как определяются коэффициенты разложения, если корни комплексные.
14. Как проверить правильность получения коэффициентов разложения.
15. Как получить уравнение переходного процесса при одновременном воздействии управляющего и возмущающего сигналов.