Если w не содержит пакетом, то , откуда следует, что w может принять p, что невозможно. Следовательно, w содержит по крайней мере один пакет; из пакетов в w, пусть q - пакет, расположенный ближе всего к пункту назначения, т.е., sq = min{s : js > 0}. Покажем, что sq < sp, что является противоречием. Из пакетов в w, пусть r - тот, который был принят w позже всех, конечно, sq£ sr выполняется. Пусть - вектор состояния w прямо перед принятием r. Из принятия r следует
Когда был вектором состояния w, r был принят вершиной w. После этого пакеты могли передвигаться из w, но все пакеты, принятые в w позже, чем r были выведены (из выбора r). Из этого следует
Но это означает, что
Таким образом, принимая i = sq,
Теперь используем факт, что p не принята w, т.е.,
Это дает неравенство
sp>sp-1
что и является противоречием. ð
Контроллер с отстающим состоянием (backward-state controller.) Существует также и контроллер, "двойственный" FS, который использует более детальную информацию, чем контроллер BC, и позволяет больше передвижений. Пусть tp выбрано как раньше, и определим вектор состояния как , где it равно количеству пакетов в вершине u , которые сделали t переходов.
Определение 5.21 Контроллер BS (Backward-State) принимает пакет p в вершине u с вектором состояния тогда и только тогда, когда
Доказательство того, что BS беступиковый очень похоже на доказательство Теоремы 5.20.
Сравнение контроллеров. Контроллер с опережающим состоянием более либеральный, чем контроллер с прямым счетом, в том плане, что он позволяет больше передвижений:
Лемма 5.22 Каждое передвижение, позволяемое FC также позволяется FS.
Доказательство. Предположим, что принятие p вершиной u позвляется контроллером FC. Тогда , так что для i£ sp ,следует , откуда видно, что FS позволяет передвижение. D
В [TU81] было показано, что FC более либеральный, чем BC. FS - более либеральный, чем BS, и BS более либеральный, чем BC. Также было показано, что эти контроллеры самые либеральные из всех, использующих такую же информацию.
В результатах этой главы отметим, что число буферов, необходимых контроллеру, всегда играло большую роль. Пропускная способность обычно увеличивается, если доступно большое количество буферов. В неструктурированных решениях дано только нижняя граница числа буферов; большее число может использоваться без любой модификации. В структурированных решениях дополнительные буфера должны так или иначе быть вставлены в буферный граф, что может быть выполнено или статически или динамически. Если это выполнено статически, каждый буфер имеет фиксированное расположение в буферном графе, т.е., создается "более широкий" буферный граф, чем в примерах, приведенных в Разделе 5.2.
Вместо одного буфера fb (p) или nb (p, b) обычно несколько буферов определяются как возможное начало или продолжение пути через буферный граф. Если вставка дополнительных буферов выполняется динамически, то буферный граф сначала создается содержащим как можно меньшее количество буферов; буфера в графе мы называем логическими буферами, во время операции каждый фактический буфер (называемый физическим буфером) может использоваться как любой из логических буферов, но всегда должно гарантироваться, что для каждого логического буфера имеется по крайней мере один физический буферный накопитель. При такой схеме, должен быть зарезервировано только небольшое число буферов, чтобы избежать тупиков, в то время как остальная часть буферов может использоваться свободно.
В этой главе было принято, что пакеты имеют фиксированный размер: буфера одинаково большие и каждый буфер может содержать точно один пакет. Проблему может также рассматривать, предположив, что пакеты могут иметь различные размеры. Решения Раздела 5.3 были адаптированы к этому предположению Bodlaender; см. [Bod86].
5.4.1 Топологические изменения
До этого момента мы явно не рассматривали возможность топологических изменений в сети в течение путешествия пакета от источника до адресата. После возникновения такого изменения таблицы маршрутизации каждого узла будут модифицироваться, и затем пакет будет послан, используя измененные значения этих таблиц. В результате модификации таблиц, пакет может следовать за путем, которым бы не следовал, если никакие изменения не имели бы место; даже возможен случай, что окончательный маршрут пакета теперь содержит циклы.
Воздействие этого на методы предотвращения тупиков, рассматриваемые в этой главе довольно не интуитивные. контроллер Dest, чья правильность основана на свойстве, что P содержит только простые пути, может использоваться без каких-либо модификаций. Контроллеры, которые рассматривают только верхнюю границу числа переходов, требуют дополнительных предосторожностей при использовании в этом случае.
Контроллер dest. За конечное время после последнего топологического изменения, таблицы маршрутизации сводятся к таблицам свободным от циклов. Даже не смотря на то, что ситуация циклического ожидания может существовать во время вычисления таблиц, после завершения вычислений буферный граф снова становится ациклическим, и все пакеты хранятся в подходящих буферах. Следовательно, когда таблицы маршрутизации вычислены, возникшая в результате конфигурация не содержит никаких тупиковых пакетов.
Контроллеры, подсчитывающие переходы. Рассмотрим контроллер, который полагается на предположение, что пакет должен делать не больше k переходов. Можно выбрать k достаточно большим, чтобы гарантировать с большой вероятностью, что каждый пакет достигает адресата за k переходов, даже если в течение путешествия от источника до адресата происходят некоторые топологические изменения. Для всех пакетов, которые достигают своих адресатов за k переходов, контроллеры сколько-было-переходов, с обратным счетом и с отстающим состоянием могут использоваться без какой-либо модификации. Однако, возможно, что пакет не достиг адресата после k переходов из-за неудачного образца топологических изменений и модификаций таблиц. Если дело обстоит так, пакет сохраняется в неподходящем буфере, и он будет навсегда блокирован в узле, отличном от адресата.
Такие ситуации могут быть решены только в кооперации с протоколами более высокого уровня. Самое простое решение в том, чтобы отбросить пакет. С точки зрения сквозного транспортного протокола, пакет теперь потерян; но с этой потерей можно справиться с помощью протокола транспортного уровня, как было показано в Разделе 3.2.
Отбрасывание пакетов также необходимо для выполнения предположения Раздела 3.2 о том, что максимальное время жизни пакета m. Если пересылка пакета занимает не более m0 единиц времени, то из ограничения времени жизни пакета p следует ограничение k =m /m0 на число переходов, которые может пройти пакет.
В этой главе рассматривались только тупики с промежуточным накоплением. Если предположения, сделанные в Разделе 5.1 имеют силу, тупики с промежуточным накоплением - единственно возможные виды тупиков. В практических сетях, однако, эти предположения не всегда выполняются и, как показали Merlin и Schweitzer [MS80b], возможны другие типы тупиков. Merlin и Schweitzer рассматривают четыре типа, а именно: тупик потомства, тупиком выпуска копии, тупик пошагового продвижения, и тупик перетрансляции, и показывают, как можно избежать эти типы тупиков расширением метода буферных графов.
Тупик потомства может возникнуть, когда пакет p может создать в сети другой пакет q, например, отчет об отказе, если произошло столкновение с испорченным каналом. Это ввело бы причинно-следственные отношение между порождением нового пакета (q) и пересылкой или выведением уже существующего (p), что нарушает предположение Раздела 5.1, что сеть всегда позволяет пересылку и выведение пакета.
Тупика потомства можно избежать, имея две копий буферного графа: одну для первоначальных сообщений и одну для вторичных сообщений. Если потомки могут снова создать следующее поколение, должны использоваться многократные уровни буферного графа.
Тупик выпуска копии может возникнуть, когда источник задерживает копию пакета, пока для пакета не получено (сквозное) подтверждение от адресата. (Сравните с протоколом основанном на таймере из Раздела 3.2, и предположите, что последовательность inp хранится в том же самом пространстве памяти, которое используется механизмом маршрутизации для временного хранения пакетов.) Это нарушает наше предположение (в Разделе 5.1), что буфер становится пустым, когда пакет, занимающий его, продвигается.
Даны два расширения принципа буферного графа, с помощью которых можно избежать тупика выпуска копии. Первое решение полагается на предположение, что тупик выпуска копии всегда возникает из-за циклического ожидания оригинальных и подтверждающих сообщений. Решение состоит в том, чтобы обрабатывать подтверждения как потомство и хранить их в отдельной копии буферного графа. Во втором решении, которое в большинстве случаев требует меньшего количества буферов, недавно сгенерированные пакеты помещаются в специализированные исходные буфера, в которые не могут быть помещены посылаемы пакеты.