Несмотря на то, что волновые алгоритмы обычно используются как подзадачи в более сложных алгоритмах, их полезно рассматривать отдельно. Во-первых, введение новых понятий облегчает последующее рассмотрение более сложных алгоритмов, т.к. свойства их подзадач уже изучены. Во-вторых, определенные задачи в распределенных вычислениях могут быть решены с помощью универсальных конструкций, в качестве параметров которых могут использоваться конкретные волновые алгоритмы. Тот же метод может использоваться для получения алгоритмов для различных сетевых топологий или для различных предположений о начальном знании процессов. Эта глава основана на [Tel91b, Раздел 4.2], где понятие волновых алгоритмов изучается под названием общие алгоритмы.
6.1 Определение и использование волновых алгоритмов
В пределах этой главы считается, если не указано обратное, что сетевая топология фиксирована (не происходит топологических перемен), не ориентирована (каждый канал передает сообщения в обоих направлениях) и связна (существует путь между любыми двумя процессами). Множество всех процессов обозначено через P, а множество каналов - через E. Как и в предыдущих главах, предполагается, что система использует асинхронную передачу сообщений и не существует понятия глобального или реального времени. Алгоритмы из этой главы также могут быть использованы в случае синхронной передачи сообщений (возможно с некоторыми изменениями во избежание тупиков) или с часами глобального времени, если они доступны. Однако некоторые более общие теоремы в этих случаях неверны; см. Упражнение 6.1.
6.1.1 Определение волновых алгоритмов
Как отмечалось в Главе 2, распределенные алгоритмы обычно допускают большой набор возможных вычислений благодаря недетерминированности как в процессах, так и в подсистеме передачи. Вычисление - это набор событий, частично упорядоченных отношением каузального (причинно-следственного) предшествования p; см. Определение 2.20. Количество событий в вычислении C обозначается через |C|, а подмножество событий, происходящих в процессе p, обозначается через Cp. Считается, что существует особый тип внутренних событий, называемый decide (принять решение); в алгоритмах этой главы такое событие представляется просто утверждением decide. Волновой алгоритм обменивается конечным числом сообщений и затем принимает решение, которое каузально зависит от некоторого события в каждом процессе.
Определение 6.1 Волновой алгоритм - это распределенный алгоритм, который удовлетворяет следующим трем требованиям:
a) Завершение. Каждое вычисление конечно:
" C : |C| < ¥
b) Принятие решения. Каждое вычисление содержит хотя бы одно событие decide:
" C : $ e Î C : e - событие decide.
c) Зависимость. В каждом вычислении каждому событию decide каузально предшествует какое-либо событие в каждом процессе:
" C : " e Î C : ( e - событие decide Þ " q Î P $ f Î Cq : f p e).
Вычисление волнового алгоритма называется волной. Кроме того, в вычислении алгоритма различаются инициаторы, также называемые стартерами, и не-инициаторы, называемые последователями. Процесс является инициатором, если он начинает выполнение своего локального алгоритма самопроизвольно, т.е. при выполнении некоторого условия, внутреннего по отношению к процессу. Не-инициатор включается в алгоритм только когда прибывает сообщение и вызывает выполнение локального алгоритма процесса. Начальное событие инициатора - внутреннее событие или событие посылки сообщения, начальное событие не-инициатора - событие получения сообщения.
Существует множество волновых алгоритмов, так как они могут различаться во многих отношениях. Для обоснования большого количества алгоритмов в этой главе и в качестве помощи в выборе одного из них для конкретной цели здесь приведен список аспектов, которые отличают волновые алгоритмы друг от друга; см. также Таблицу 6.19.
1) Централизация. Алгоритм называется централизованным, если в каждом вычислении должен быть ровно один инициатор, и децентрализованным, если алгоритм может быть запущен произвольным подмножеством процессов. Централизованные алгоритмы также называют алгоритмами одного источника, а децентрализованные - алгоритмами многих источников. Как видно из Таблицы 6.20, централизация существенно влияет на сложность волновых алгоритмов.
2) Топология. Алгоритм может быть разработан для конкретной топологии, такой как кольцо, дерево, клика и т.д.; см. Подраздел 2.4.1 и Раздел B.2.
3) Начальное знание. Алгоритм может предполагать доступность различных типов начального знания в процессах; см. Подраздел 2.4.4. Примеры требуемых заранее знаний:
(a) Идентификация процессов. Каждому процессу изначально известно свое собственное уникальное имя.
(b) Идентификация соседей. Каждому процессу изначально известны имена его соседей.
(c) Чувство направления (sense of direction). См. Раздел B.3.
4) Число решений. Во всех волновых алгоритмах этой главы в каждом процессе происходит не более одного решения. Количество процессов, которые выполняют событие decide, может быть различным; в некоторых алгоритмах решение принимает только один процесс, в других - все процессы. В древовидном алгоритме (Подраздел 6.2.2) решают ровно два процесса.
5) Сложность. Меры сложности, рассматриваемые в этой главе, это количество передаваемых сообщений (message complexity), количество передаваемых бит (bit complexity) и время, необходимое для одного вычисления (определено в Разделе 6.4). См. также Подраздел 2.4.5.
Каждый волновой алгоритм в этой главе будет дан вместе с используемыми переменными и, в случае необходимости, с информацией, передаваемой в сообщениях. Большинство этих алгоритмов посылают «пустые сообщения», без какой-либо реальной информации: сообщения передают причинную связь, а не информацию. Алгоритмы 6.9, 6.11, 6.12 и 6.18 используют сообщения для передачи нетривиальной информации. Алгоритмы 6.15 и 6.16/6.17 используют различные типы сообщений; при этом требуется, чтобы каждое сообщение содержало 1-2 бита для указания типа сообщения.
Обычно при применении волновых алгоритмов в сообщение могут быть включены дополнительные переменные и другая информация.[AK1] Многие приложения используют одновременное или последовательное распространение нескольких волн; в этом случае в сообщение должна быть включена информация о волне, которой оно принадлежит. Кроме того, процесс может хранить дополнительные переменные для управления волной, или волнами, в которых он в настоящее время активен.
Важный подкласс волновых алгоритмов составляют централизованные волновые алгоритмы, обладающие двумя дополнительными качествами: инициатор является единственным процессом, который принимает решение; и все события совершенно упорядочены каузальными отношениями. Такие волновые алгоритмы называются алгоритмами обхода и рассматриваются в Разделе 6.3.
6.1.2 Элементарные результаты о волновых алгоритмах
В этом подразделе доказываются некоторые леммы, которые помогают лучше понять структуру волновых вычислений, и приведены две тривиальные нижние границы сложности сообщений волновых алгоритмов.
Структурные свойства волн. Во-первых, каждому событию в вычислении предшествует событие в инициаторе.
Лемма 6.2 Для любого события e Î C существует инициатор p и событие f в Cpтакое, что f p e.
Доказательство. Выберем в качестве f минимальный элемент в предыстории e, т.е. такой, что f p e и не существует f¢ p f. Такое f существует, поскольку предыстория каждого события конечна. Остается показать, что процесс p, в котором находится f, является инициатором. Для начала, заметим, что f - это первое событие p, иначе более раннее событие p предшествовало бы f. Первое событие не-инициатора - это событие получения сообщения, которому предшествовало бы соответствующее событие посылки сообщения, что противоречит минимальности f. Следовательно, p является инициатором.
Волна с одним инициатором определяет остовное дерево сети, где для каждого не-инициатора выбирается канал, через который будет получено первое сообщение.
Лемма 6.3 Пусть C - волна с одним инициатором p; и пусть для каждого не-инициатора q fatherq - это сосед q, от которого q получает сообщение в своем первом событии. Тогда граф T = (P, ET), где ET = {qr: q ¹ p & r = fatherq } - остовное дерево, направленное к p.
Доказательство. Т.к. количество вершин T превышает количество ребер на 1, достаточно показать, что T не содержит циклов. Это выполняется, т.к. если eq - первое событие в q, из того, что qr Î ET следует, что er p eq, а p - отношение частичного порядка.
В качестве события f в пункте (3) Определения 6.1 может быть выбрано событие посылки сообщения всеми процессами q, кроме того, где происходит событие decide.
Лемма 6.4 Пусть C - волна, а dp Î C - событие decide в процессе p. Тогда