Теперь мы попытаемся оценить число управляющих сообщений, используемых алгоритмом. Основное вычисление, используемое в доказательстве Теоремы 8.2 заставляет алгоритм использовать по крайней мере один обход маркера для каждых двух основных сообщений; следовательно сложность алгоритма в худшем случае - ½ N.M управляющих сообщений; см. Упражнение 8.5.
Алгоритм может использовать значительно меньшее количество сообщений в "среднем" основном вычислении. Предположим, что основное вычисление имеет сложность по времени T. Т.к. маркер всегда отправляется последовательно, не неблагоразумно предположить, что маркер отправляется приблизительно T раз прежде, чем заканчивается основное вычисление. (Даже эта оценка может быть слишком пессимистичной, т.к. отправление маркеров приостановлено в активных процессах.) Т.к. маркер отправляется менее чем 3N раза после завершения, алгоритм в этом случае использует T + 3N управляющих сообщений. Сложность основного вычисления - по крайней мере T (а именно, сложность по времени), но если вычисление содержит достаточный параллелизм, сложность сообщения может достигать Ω(N.T ).Если параллелизм позволяет каждому процессу посылать постоянное число сообщений в единицу времени, сложность по сообщениям основного вычисления - N.T.a, то есть Ω(N.T ) . Число управляющих сообщений, который является 0 (N + T), тогда намного лучше чем можно ожидать от сложности обнаружения завершения в худшем случае.
8.3.2 Подсчет Основных Сообщений: Алгоритм Сафра
Синхронность прохождения сообщений, принятая для основного вычисления в алгоритме Dijkstra-Feijen-Van Gasteren - серьезное ограничение для его общего применения. Несколько авторов обобщили этот алгоритм для вычислений с асинхронным прохождением сообщений (cf. Алгоритм 8.1). В данном подразделе будет обсуждено решение Сафра [Dij87]; в нем сложность в среднем случае сопоставима с сложностью алгоритма Dijkstra-Feijen-Van Gasteren.
Определим для каждой конфигурации число сообщений находящихсы в процессе передачи как B. Тогда term эквивалентен
("p : statep = passive) Ù B = 0.
Снова инвариант P будет составлен так, что завершение можно будет определить из P, t = 0, и другой информации из p0. Инвариант должен сохраняться, когда p0 начинает волну, то есть, когда t = N - 1.
Чтобы информация о B была доступна в процессах (распределенным способом), процесс p снабжается счетчеком сообщений mcp , и процессы поддерживают Pm как инвариант, где
Pmº B= SpÎP mcp .
Инвариант Pm получен, когда первоначально mcp = 0 для каждого p, и процессы подчиняются следующему правилу.
Правило М. Когда процесс p посылает сообщение, счетчик сообщений увеличивается на 1; когда процесс p получает сообщение, счетчик сообщений уменьшается на 1.
Инвариант должен позволять p0 решать,что содержит term, когда он получает маркер (t = 0). Т.к. term теперь также включает ограничение на значение B, маркер будет использоваться для передачи целого числа q для вычисления суммы счетчиков сообщений процессов, которые его отправили. Попробуем установить P = Pm Ù P0 , где
P0 º ("i (N > i > t) : statePi = passive) Ù ( q = SN>i>t mcPi ) .
Действительно, P0 истинен, когда t = N -1 и q = 0, и если t = 0 тогда из P следует, что
("i > 0 : statePi = passive) Ù (mcP0+ q = B),
так что p0 может определить завершение если state P0 = passive и mcP0 + q = 0.
Утверждение P0 устанавливается, когда p0 начинает волну, посылая маркер в pN -1 с q = 0. Отправление маркера сохраняет P0, только если отправляют маркер пассивные процессы и добавляют значение их счетчека сообщений; поэтому мы принимаем следующее правило.
Правило 1. Процесс обрабатывает маркер только когда он пассивен, и когда процесс посылает маркер он прибавляет значение своего счетчика сообщений к q.
При этом, P сохраняется при отправлении маркера и также при внутренних действиях; к сожалению, P не сохраняется при получении сообщения процессом p, с i > t. При получении сообщения P0 принимает значение ложь, то есть, это применимо только когда B> 0. Т.к. Почтовый сохраняется перед тем как принимает значение ложь,сохраняется P1, где
P1 º (Si £ t mcPi + q )>0.
Утверждение P1 остается истинным при получении сообщения процессом pi с i > t ; следовательно, более слабое утверждение P, определенное как Pm Ù (P0 Ú P1) сохраняется при получениисообщения процессом pi с i > t.
var statep: {active, passive) ;
colorp : (white, black) ;
mcp : integer init 0 ;
Sp: { statep = active }
begin send ( mes ) ;
mcp := mcp + 1 (* Правило M *)
end
Rp: { Сообщение (mes) прибывает в p }
begin receive (mes) ; statep := active ;
mcp := mcp - 1; (*Правило M *)
colorp := black (*Правило 2 *)
end
Ip: { statep = active }
begin statep := passive end
Начало определения, выполняется один раз процессом p0:
begin send (tok, white, 0) to pN - 1 end
Tp: (* Процесс p обрабатывает маркер (tok,c,q ) *)
{ statep = passive } (*Правило I *)
begin if p = p0
then if (c = white) Ù (colorp = white) Ù(mcp + q = 0)
then Announce
else send (tok, white,0) to pN -1 (*Правило 4 *)
else if (colorp = white) (*Правила I and 3 *)
then send ( tok, c, q + mcp ) to Nextp
else send ( tok, black, q + mcp ) to Nextp ;
colorp := white (*Правило 5 *)
end
Алгоритм алгоритма 8.7 safra's.
Это измененное утверждение все еще позволяет обнаружить завершение процессу p0 при тех же самых условиях, потому что, если t = 0, P1 читает mcP0 + q > 0, таким образом если mcP0 + q = 0 (это уже требовалось для обнаружения), ØP1сохраняется. Отправление маркера сохраняет P1, и тоже самое происходит при посылке основного сообщения. К сожалению, P1 может принималь значение ложь при получении сообщения процессом pi с i £ t. Как и в Подразделе 8.3.1, эта ситуация исправляется назначение цвета каждому процессу по следующему правилу:
Правило 2. Процесс получающий сообщение становится черным и P заменяется на Pm Ù (P0 Ú P1 Ú P2 ), где
P2 º $ j (t ³ j ³ 0) : colorp = black.
При каждом получении соощения, при котором P1 принимает значение ложь, P2 принимает значение истинна, так что P не принимает значение ложь при любом основном действии. Так как (P Ù colorP0 = white Ù t = 0) Þ ØP2 , все еще возможно обнаружить завершение с новым утверждением, а именно, проверяя является ли p0белым (и пассивным) когда он обрабатывает маркер.
Ослабление P было успешно предотвращает изменение значения Р после основных событий; но более слабое утверждение может принять значение ложь при отправлении маркера, а именно, если процесс t - единственный черный процесс и он посылает маркер. Ситуация исправляется дальнейшим ослаблением P. Маркеру также назначается цвет (белый или черный) , и P ослабляется до Pm Ù (P0 Ú P1 Ú P2 ÚP3), где
P3 º маркер черный.
Отправление маркера сохраняет P3, если черные процессы отправляют черный маркер.
Правило 3. Когда черный процесс посылает маркер, маркер становится черным.
Т.к. (маркер белый) Þ ØP3 завершение может все еще обнаруживаться процессом p0, а именно, проверкой получает ли он белый маркер (и белый ли он сам и пассивный).
Действительно, теперь можно быть уверенным, что внутренние действия, основные коммуникации и отправление маркеров сохраняют P. Волна заканчивается неудачно, когда маркер возвращается в p0, если он черный, p0 черный, или mcP0 + q ¹ 0. Если волна заканчивается неудачно, должна быть начата новая волна.
Правило 4. Когда волна заканчивается неудачно, p0 начинает новую волну.
Следующая волна закончилась бы так же неудачно как предыдущая, если бы не было способа для черных процессов стать снова белыми; действительно, черные процессы окрашивали бы маркер при его отправлении в черный цвет, из-за чего следующая волна закончилась бы также неудачно.
Заметим, что процесс p окрашивающий в белый цвет не изменяет заначение P на ложь если i > t, и что P всегда становится истинным когда p0 начинает волну, посылая маркер в pN -1.Из этого следует, что окрашивание в белый цвет может благополучно иметь место при отправлении маркера.
Правило 5. Каждые процесс становится белым сразу после посылки маркера. При этом гарантируется конечный успех волны после завершения основного вычисления. Алгоритм дается как Алгоритм 8.7.
Теорема 8.9 Алгоритм Сафра (Алгоритм 8.7) - правильный алгоритм обнаружения завершения для вычислений с асинхронным прохождением сообщений.