Распределенные алгоритмы (стр. 76 из 85)

Последнее заявление противоречит существованию бивалентных начальных конфигураций. Таким образом Теорема 13.25 доказана. -

Рисунок 13.4 Византийский процесс, моделирующий другие процессы.

Византийско-устойчивый алгоритм согласия Брахи и Туэга. При t < N/3, t-Византийско-устойчивые протоколы согласия существуют. Необходимо, чтобы система связи позволяла процессу определять, каким процессом было послано полученное сообщение. Если Византийский процесс p может послать корректному процессу r сообщение и успешно симулировать получение процессом r сообщения от q (см Рисунок 13.4), проблема становится неразрешимой. Действительно, процесс p может моделировать достаточно много корректных процессов, чтобы навязать неправильное решение в процессе r.

Подобно аварийно-устойчивому протоколу, Византийско-устойчивый протокол (Алгоритм 13.5) функционирует в раундах. В каждый раунде каждый процесс может представлять на рассмотрение голоса, и решение принимается, когда достаточно много процессов голосуют за одно и то же значение. Более низкая способность восстановления (t < N/3) устраняет необходимость в различении свидетелей и не-свидетелей; процесс принимает решение после принятия более (N + t) /2 голосов за одно и то же значение.

Злонамеренность этой модели отказов требует, однако, введения механизма проверки голоса, что является затруднением протокола. Без такого механизма Византийский процесс может нарушать голосование среди корректных процессов, посылая различные голоса различным корректным процессам. Такое злонамеренное поведение не возможно в модели аварийного отказа. Механизм проверки гарантирует, что, хотя Византийский процесс r может посылать различные голоса корректным процессам p и q, он не может обмануть p и q, чтобы они приняли различные голоса за r (в некотором раунде).

Механизм проверки основан на отражении сообщений. Процесс “выкрикивает” свой голос (как initial, in), и каждый процесс, после получения первого голоса за некоторый процесс в некотором раунде, отражает эхом голос (как echo, ec). Процесс примет голос, если для него были приняты более (N+t)/2 отраженных сообщений. Механизм проверки сохраняет (частичную) правильность коммуникации между корректными процессами (Лемма 13.28), и корректные процессы никогда не принимают различные голоса за один и тот же процесс (Лемма 13.29). Тупиков нет (Лемма 13.30).

Мы говорим, что процесс p принимает v-голос за процесс r в раунде k, если p увеличивает после получения сообщения голоса <vote, ec, r, v, k>. Алгоритм гарантирует, что p проходит раунд k только после принятия N-t голосов, и что p принимает также самое большее один голос за каждый процесс в каждом раунде.

(*Теперь принять N-t голосов для текущего раунда*)

then skip (*q повторяет, должно быть, Византийский*)

then (*обработать сообщение в более позднем раунде*)

else (*Обработать или отразить сообщение голоса*)

Алгоритм 13.5 Византийско-устойчивый алгоритм согласия.

Лемма 13.28 Если корректный процесс p принимает в раунде k голос v за корректный процесс r, то r голосовал за v в раунде k.

Доказательство. Процесс p принимает голос после получения сообщения <vote, ec, r, v, k> от более (N+t)/2 (различных) процессов; по крайней мере один корректный процесс s послал такое сообщение p. Процесс s посылает эхо p после получения сообщения <vote, in, r, v, k> от r, что означает, так как r корректен, что r голосует за v в раунде k. -

Лемма 13.29 Если корректные процессы p и q принимают голос за процесс r в раунде k, они принимают тот же самый голос.

Доказательство. Предположим, что в раунде k процесс p принимает v-голос за r, а процесс q принимает w-голос. Таким образом, p получил <vote, ec, r, v, k> от более (N+t)/2 процессов, и q получил <vote, ec, r, w, k> от более (N+t)/2 процессов. Так как имеется только N процессов, то, должно быть, более t процессов послали <vote, ec, r, v, k> процессу p и <vote, ec, r, w, k> процессу q. Это значит, что по крайней мере один корректный процесс сделал так, и следовательно v = w. -

Лемма 13.30 Если все корректные процессы начинают раунд k, то они принимают достаточно много голосов в этом раунде, чтобы закончить его.

Доказательство. Корректный процесс r, начинающий раунд k с , “выкрикивает” начальный голос для этого раунда, который отражается всеми корректными процессами. Таким образом, для корректных процессов p и r, <vote, ec, r, v, k> посылается p по крайней мере N-t процессами, позволяя p принять v-голос за r в раунде k, если не принято ранее N-t других голосов. Отсюда следует, что процесс p принимает N-t голосов в этом раунде. -

Теперь доказательство правильности протокола похоже на доказательство правильности аварийно-устойчивого протокола.

Лемма 13.31 Если корректный процесс принимает решение (останавливается на) v в раунде k, то все корректные процессы выбирают v в раунде k и всех более поздних раундах.

Доказательство. Пусть S - множество по крайней мере (N + t)/2 процессов, для которых p принимает v-голос в раунде k. Корректный процесс q принимает в раунде k N-t голосов, включая по крайней мере голосов за процессы в S. По Лемме 13.29, q принимает более (N-t)/2 v-голоса, что означает, что q выбирает v в раунде k.

Чтобы показать, что все корректные процессы выбирают v в более поздних раундах, предположим, что все корректные процессы выбирают v в некотором раунде l; следовательно, все корректные процессы голосуют за v в раунде l+1. В раунде l+1 каждый корректный процесс принимает N-t голосов, включая более (N-t)/2 голосов за корректные процессы. По Лемме 13.28, корректный процесс принимает по крайней мере (N-t)/2 v-голоса, и, следовательно, снова выбирает v в раунде l+1. -

Лемма 13.32 Pr [Корректный процесс p не принял решения до раунда k] = 0.

Доказательство. Пусть S - множество по крайней мере N-t корректных процессов и предположим, что p не принял решения до раунда k. С вероятностью > 0 все процессы в S принимают в раунде k голоса за одну и ту же совокупность N-t процессов и, в раунде k + 1, только голоса за процессы в S. Если это происходит, процессы в S голосуют одинаково в раунде k + 1 и принимают решение в раунде k + 1. Отсюда

Pr [Корректный процесс p не принял решения до раунда k + 2]

Pr [Корректный процесс p не принял решения до раунда k],

Лемма 13.33 Если все корректные процессы начинают алгоритм с входом v, в конечном счете принимается решение v.

Доказательство. Как в доказательстве Леммы 13.31 можно показать, что все корректные процессы выбирают v снова в каждом раунде. -

Теорема 13.34 Алгоритм 13.5 - вероятностный, t-Византийско-устойчивый протокол согласия при t < N/3.

Доказательство. Сходимость показана в Лемме 13.32 и соглашение - в Лемме 13.31; нетривиальность следует из Леммы 13.33. -

Зависимость решения от входных значений проанализирована далее в Упражнении 13.12. Алгоритм 13.5 описывается как бесконечный цикл для простоты представления; мы в заключение описываем, как можно модифицировать алгоритм, чтобы он завершался в каждом решающем процессе. После принятия решения v в раунде k процесс p выходит из цикла и “выкрикивает” "множественные" голоса <vote, in, p, k+, v> и отражает <vote, ec, *, k+, v>. Эти сообщения интерпретируются как начальный и отражаемый голоса для всех раундов после k. Действительно, p голосует за v во всех более поздних раундах, и все корректные процессы будут голосовать так же (Лемма 13.31). Следовательно, множественные сообщения - такие, которые были бы посланы процессом p при продолжении алгоритма, с возможным исключением для отражений злонамеренных начальных голосов.