Расчет надежности, готовности и ремонтопригодности технических средств и вычислительных комплексов (стр. 3 из 4)

Вероятность

и при известных начальных условниях всегда можно определить из исходной системы дифференциальных уравнений. Наиболее просто найти искомые вероятности в преобразованиях Лапласа с последующим отысканием оригиналом функций и .

Среднее время безотказной работы может быть вычисленно при известной вероятности безотказной работы по формуле

. Так как по определению , то при s=0 имеем

. (2.3)

Из этого выражения видно, что для определения среднего времени безотказнох работы достаточно найти преобразование Лапласа вероятности безотказной работы системы и в полученное выражение

подставить s=0.

Для определения функции готовности

строится граф состояний системы, на графе отмечаются все отказовые состояния и составляется формально по виду графа система дифференциальных уравнений. Для определения используется одно из следующих соотношений:

(2.4)

(2.5)

где

- вероятность застать систему в момент времени t в i-м испраном состоянии; - вероятность застать систему в момент времени t в j-м неисправном состоянии; k-число узлов графа, соответствующих исправным состояниям системы; N+1 –общее число узлов в графе, равное числу состояний системы.

Если число отказовых состояний системы меньше числа исправных, то следует пользоватся выражением (2.5), в противном случае (2.4).

Вероятности

и вычисляются так же, как и в случае определения вероятности безотказной работы.

Сравнивая процедуры вычисления вероятности безотказной работы и функции готовности, можно убедиться, что они идентичны. Отличие состоит лишь в том, что при определении функции готовности, можно убедиться, что они идентичны. Отличие состоит лишь в том, что при опрделении функции готовности в графе состояний системы отсутствуют поглощающие состояния, а поэтому в системе дифференциальных уравнений появляются дополнительные члены.

Коэффициент готовности является финальной вероятностью пребывания системы в исправном состоянии. Его легко вычислить, если известна функция готовности

или , воспользовавшись соотношением

(2.6)

Из этого соотношения видно, что для определения коэффициента готовности достаточно из уравнений функционирования системы найти преобразование Лапласа коэффициента готовности и вычислить предел. Функция готовности системы при неограниченном востановлении обычно имеет вид:

(2.7)

причем

.

Тогда для вычисления предела

достаточно в функции , определяемую выражением (2.7), подставить s=0. Из (2.6) и (2.7) следует:

(2.8)

Так как

, то

(2.9)

Это соотношение может быть весьма полезным при определении наработки на отказ или среднего времени восстановления системы.Для получения одного из этих показателей нет необходимости решать систему уравнений типа массового обслуживания. Достаточно лишь вычислить свободные члены

и в выражении (2.7). В дальнейшем будет показано, что и модут быть получены непосредственно из графа состояний системы.

Коэффициент готовности, ялвляясь финальной вероятностью, не зависит от выбора начальных условий. Начальные условия определяют лишь переходные процессы в системе массового обслуживания типа система-ремонтоное предприятие. Это следует иметь в виду при составлении и решении уравнений функционирования системы. Вычислять коэффициент готовности целесообразно при таких начальных условиях, при которых достигается наибольшая простота раскрытия определителей.

Решение большого количества прикладных задач показывает , что переходные процессы в системах массового обслуживания, применительно к задачам надежности вычислительных систем обшего назначения, практически заканчиваются уже после двух-трех восстановлений. Поэтому часто на практике не интересуются функцией готовности, а за основу количественную характеристик надежности принимают коэффициент готовности.

Наработка на отказ является математическим ожиданием времени между соседними отказами восстанавливаемой системы. Эта характеристика мажет быть вычислена из соотношения:

(2.10)

где

- вероятность того, что в течение времени t, отсчитанного от момента начала работы системы после i-го ее восстановления, не возникает отказ всей системы, т.е. , где - время между началом работы устройства после i-ого восстановления и (i+1)-м отказом. Вероятность может быть определена из системы уравнений функционирования системы.

Для определения наработки на отказ нет необходимости вычислять

и интегрировать в соответствии с выражением (2.10). Достаточно найти преобразование Лапласа вероятности . Так как по определению

, то

(2.11)

Из последнего выражения видно, что для получения наработки на отказ достаточно найти, как и в случае вычисления среднего времени безотказной работы, преобразование Лапласа суммы вероятностей исправных состояний системы и положить в полученном выражении s=0, Отличие состоит лишь в том, что вероятность

определяется при начальных условиях, отличных от начальных уловий , при которых определяется вероятность в выражении (2.3).

Описанный выше способ определения наработки на отказ применим лишь для частного случая, когда система имеет лишь одно отказовое состояние. В большинстве же практических случаев таких состояний много. Так же практических случаев таких состояний много. Так например при эксплуатации нерезервированной системы , состоянщей из N элементов, можно получить N отказовых состояний (Рис.2.1). В таких случаях определлить

из уравнений функционирования системы затруднительно. Это объясняется тем, что неизвестно, при каких начальных условиях следует определять , так как предотказовых состояний может быть несколько, так как предотказовых состояний может быть несколько.

В ряде случаев удается найти наработку на отказ, воспользовавшись общей формулой для коэффициента готовности

(2.12)

Пользоваться этой формулой на практике целесообразно в следующих случаях:

1. среднее время восстановления системы известно из опыта;
2. система имеет лишь одно отказовое состояние, причем из этого состояния в соседние возможен переход с одной и той же интенсивностью
   . Тогда
   ;
3. система имеет несколько отказовых состояний, но интенсивности переходов из этих состояний в соседние одинаковы. Тогда среднее время восстановления системы равно, как в прежнем случае,
   .

Случаи 2 и 3 легко распознаются по графу состояний. Тогда для определения наработки на отказ достаточно найти

описанным ранее способом.