Хеш-функции (стр. 2 из 3)
HEAD[6]: [_Λ_]
HEAD[7]: [_Λ_]
HEAD[8]: [_Λ ]
HEAD[9]: [__] [ SEKS ][ Λ ]Рис. Раздельные цепочки.
ключа мы просто выполняем последовательный поиск в списке с
номером h(K)+1.
Рисунок иллюстрирует этот простой метод цепочек при M=9 для
последовательности семи ключей
K=|EN|, |TO|, |TRE|, |FIRE|, |FEM|, |SEKS|, |SYV|
(так называются числа от 1 до 7 по-норвежски), имеющих соответственные хеш-коды
h(K)+1 = 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2.
Первый список содержит два элемента, три списка пусты.
Метод цепочек является весьма быстрым, поскольку списки коротки. Если в одной комнате собрать 365 человек, то найдется много пар, имеющих один и тот же день рождения, но данный день рождения в среднем имеет лишь один человек! Вообще, если имеется N ключей и M списков, средний размер списка равен N/M; таким образом, хеширование уменьшает количество работы, требуемое на последовательный поиск, примерно в M раз.
В целях экономии времени желательны большие M , но в этом случае многие ссылки будут пустыми, так что большая часть пространства, отводимого под M головных узлов, потратится зря. Для небольших по размеру записей напрашивается другой подход: можно наложить пространство для записей на пространство для головных узлов, отводя в таблице место под M записей и M ссылок, а не под N записей и M+N ссылок.
Иногда можно совершить один проход по данным и выяснить, какие головные узлы будут использоваться, вставляя на следующем проходе "переполняющие" записи в свободные щели. Часто, однако, это нежелательно или невозможно; нам хотелось бы иметь метод, при котором каждая запись обрабатывается лишь один раз, при первом поступлении в систему. Следующий алгоритм, принадлежащий Ф.Уильямсу, является общепринятым способом решения этой задачи.
alg C.(Поиск с вставкой по рассеянной таблице с цепочками.) Предлагаемый
алгоритм позволяет отыскать в таблице из M элементов данный ключ K.
Если K нет в таблице и она не полна, K вставляется в нее.
Элементы таблицы обозначаются через TABLE[i], 0≤i≤ M, и могут
быть двух различных типов: свободный и занятый. Занятый узел
содержит ключевое поле KEY[i], поле ссылки LINK[i] и, возможно,
другие поля.
Алгоритм использует хеш-функцию h(K). Для облегчения поиска свободного пространства используется вспомогательная переменная R; если таблица пуста, R=M+1; по мере проведения вставок будет оставаться в силе утверждение, что узлы TABLE|[j] заняты для всех j в диапазоне R≤j≤M.
Условимся, что узел TABLE[0] всегда будет свободен.
C1.[Хеширование.] Установить i←h(K)+1. (Теперь 1≤i≤M.)
C2.[Список?] Если узел TABLE[i] свободен, то перейти на C6.
(В противном случае этот узел занят, и мы последуем на имеющийся здесь
список занятых узлов).
C3.[Сравнение.] Если K=KEY[i], поиск завершен удачно.
C4.[Переход к следующему.] Если LINK[i]≠0, установить i←LINK[i] и вернуться на
C3.
C5.[Найти свободный узел.] (Поиск был неудачным, и мы хотим найти в
таблице свободное место.) Уменьшать R до тех пор, пока не будет получено
такое значение, что узел TABLE[R] свободен. Если R=0, алгоритм
заканчивается по переполнению (свободных узлов больше нет); в противном
случае установить LINK[i]←R, i←R.
C6.[Вставить новый ключ.] Пометить TABLE[i] как занятый узел
С KEY[i]←K и LINK[i]←0.
В алгоритме допускается срастание нескольких списков, так что после вставки в таблицу записи перемещать не нужно.
 |
Нет 
 |
Да
 | ||||||
 | | | ||||
K=KEY[i] R=0
УДАЧА ПЕРЕПОЛНЕНИЕ
Рис. Поиск с вставкой по рассеянной таблице с цепочками.
TABLE[1]: [ TO ][ ]TABLE[2]: [ SYV ][ Λ ]
TABLE[3]: [ EN ][ Λ ]
TABLE[4]: [ TRE ][ Λ ]
TABLE[5]: [ FEM ][ Λ ]
TABLE[6]: [_ Λ _]
TABLE[7]: [_ Λ _]
TABLE[8]: [ SEKS ][ Λ ] 
TABLE[9]: [ FIRE ][ ]рис. Сросшиеся списки.
На первый взгляд шаг C5 может показаться неэффективным, так как в нем поиск свободной позиции производится последовательно. Но в
действительности в процессе заполнения таблицы суммарное число проб в шаге C5 не превышает количества элементов в таблице; значит, в среднем на каждую вставку тратится не более одной такой пробы!
Разрешение коллизий "открытой адресацией". Другой способ решения проблемы коллизий состоит в том, чтобы полностью отказаться от ссылок и просто просматривать один за другим различные элементы таблицы, пока не будут найдены ключ K или свободная позиция. Не плохо было бы иметь правило, согласно которому каждый ключ K определяет последовательность проб, т.е. последовательность позиций в таблице, которые нужно просматривать всякий раз при вставке или поиске K. Если мы, используя определяемую K последовательность проб, натолкнемся на свободную позицию, то можно сделать вывод, что K нет в таблице, так как та же последовательность проб выполняется каждый раз при обработке данного ключа. Этот общий класс методов У. Петерсон назвал открытой адресацией.
Простейшая схема открытой адресации, известная как линейное
опробование, использует циклическую последовательность
h(K), h(K)-1,…, 0, M-1, M-2,…, h(K)+1 (*)
и описывается следующим образом.
alg L.(Поиск с вставкой по открытой рассеянной таблице.)
Алгоритм позволяет разыскать данный ключ K в таблице из M узлов.
Если K нет в таблице и она не полна, ключ K вставляется.
Узлы таблицы обозначаются через TABLE[i], 0≤i<M, и принадлежат
двум различным типам узлов - свободных и занятых. Занятый узел
содержит ключ KEY[i] и, возможно, другие поля. Значение вспомогательной переменной N равно числу занятых узлов; эта переменная рассматривается как часть таблицы, и при вставке нового ключа ее значение увеличивается на 1.
Данный алгоритм использует хеш-функцию h(K) и линейную
последовательность проб (*) для адресации. Модификации этой
последовательности обсуждаются ниже.
L1.[Хеширование.] Установить i←h(K). (Теперь 0≤i< M.)
L2.[Сравнить.] Если узел TABLE[i] свободен, то перейти на L4. В
противном случае, если KEY[i]=K, алгоритм заканчивается удачно.
L3.[Перейти к следующему.] Установить i←(i-1); если теперь i<0,
Установить i←i+M. Вернуться на L2.
L4.[Вставить.] (Поиск был неудачным.) Если N=M-1, алгоритм
заканчивается по переполнению. В противном
случае установить N←N+1, отметить, что узел TABLE[i] занят и
установить KEY[i]←K.
На рис.( см. ниже) показано, что происходит при вставке с помощью алгоритма~L семи "норвежских" ключей , имеющих коды хеширования 2, 7, 1, 8, 2, 8, 1
соответственно. Последние три ключа- FEM, SEKS и SYV-смещены по
сравнению со своими начальными адресами h(K).
0 [ FEM ]
1 [ TRE ]
2 [ EN ]
3 [ ]
4 [ ]
5 [ SYV ]
6 [_SEKS ]
7 [_ TO ]
8 [ FIRE ]
Рис. Линейная открытая адресация.
Эксперименты с линейным опробованием показывают, что этот метод работает прекрасно, пока таблица не слишком заполнена, но в конце концов процесс замедляется, длинные серии проб становятся все более частыми. Причину такого поведения можно понять, рассмотрев следующую гипотетическую рассеянную таблицу (M=19, N= 9):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Заштрихованные квадраты обозначают занятые позиции. Ключ K, который должен быть вставлен в таблицу следующим, попадет в одну из десяти свободных позиций, но не с равными вероятностями. В самом деле, K будет вставлен в позицию 11, если 11≤h(K)≤15, а в позицию 8 он попадет лишь при h(K)=8. Следовательно, вероятность попасть в
позицию 11 в пять раз больше, чем в позицию 8; длинные списки стремятся стать еще длиннее.
alg D.(Открытая адресация с двойным хешированием.)
Этот алгоритм почти совпадает с алгоритмом L, но использует несколько иную последовательность проб, вычисляя две хеш-функции h1(K) и h2(K). Как обычно, h1(K) порождает величины от 0 до M-1 включительно; но значения h2(K) должны лежать от 1 до M-1 и быть взаимно просты с M. (Например, если M - простое число, то h2(K) может быть любой величиной от 1 до M-1 включительно, или, если M=2m, то h2(K) может быть любым нечетным числом между 1 и 2m-1.)
D1.[Первое хеширование.] Установить i ←h2(K).
D2.[Первая проба.] Если узел TABLE[i] свободен, то перейти
на D6. В противном случае, если KEY[i]=K, алгоритм
заканчивается удачно.