Из диаграммы видно, что каждому сообщению xÎX поставлен в соответствие ровно один образ j(x)ÎI и ровно один образ y(q(x))ÎJ. Действительно:
xÎX имеет образ y(q(x)).
Учитывая это, на множествах I, J можно определить отношение h, которое может выражать такой смысл: иметь общий прообраз во множестве X. Данное отношение h не обязательно является отображением. Так, если отображение j не биективно, то элемент множества I может иметь более одного прообраза во множестве X. Каждый прообраз как элемент множества X имеет по одному образу в множестве J, и, следовательно, рассматриваемый элемент из множества I находится в отношении h с числом элементов из множества J, равным числу его прообразов в множестве X. В силу этого отношение h не является отображением.
Правило обработки j сообщения X называется сохраняющим информацию, если отношение h является отображением, а диаграмма (3.4) принимает вид
Из диаграммы следует, что произведение отношения jh равно произведению qy, т. е. диаграмма (3.4) является коммутативной. Определяющим отображением в диаграмме (3.4) является отображение h – правило обработки информации. Поэтому названия различных видов обработки сообщений происходят из смысла и имени правила h. Обычно при выборе вида обработки сообщений исходят из правила h с учетом правил интерпретации сообщений j и y.
Пусть q и h – взаимно однозначные отображения. Это относится к случаю, когда к правилу q предъявляется требование не терять информацию в процессе обработки, например при перемене носителя информации, переходе от одного вида модуляции к другому и т. и.
Рассмотрим пример из области сообщений на естественном языке. Очевидно, сообщение «ЭВМ облад. сп-стью обр-ки инф-ии», благодаря избыточности текста на естественном языке однозначно восстанавливается как «ЭВМ обладает способностью обработки информации».
В рассмотренных примерах существует обратное преобразование q-1, которое является однозначным, – позволяет восстановить исходный элемент xÎX по известному yÎY, т. е. исходное сообщение по обработанному.
Рассмотрим теперь случай, когда h является взаимно однозначным отображением, т.е. интерпретация исходного сообщения может быть произведена точно, а q взаимно однозначным отображением не является. Это значит, что множество X имеет большее число элементов, чем множество Y. Тогда q есть сжимающее отображение. В этом случае правило преобразования называется сжатием информации, хотя правильнее говорить о сжатии сообщения или сжатии сигнала.
Наконец, если отображение h не инъективно, то отображение q также не является взаимно однозначным. При этом происходит потеря части информации в обработанном сообщении yÎY по сравнению с той, которая содержится в исходном сообщении xÎX. Существует много видов обработки информации.
Задачи обнаружения сигнала
Сигнал s(t) распространяясь по каналу связи, искажается помехой, так что можно говорить о том, что на вход приемника приходит не сигнал s(t), а другой сигнал x(t).
В приемнике содержатся априорные сведения о сигнале:
1) известен вид функции s(t) и известно, что она не равна нулю на интервале времени (tн,tк),
2) известна статистика помехи (например, плотность вероятности ее амплитуды).
В приемнике решается, был ли передай сигнал на интервале времени (tн,tк) или нет. Очевидно, что решение нельзя принять до наступления момента времени tн, а в ряде случаев – и до наступления момента tк. Приемник анализирует сигнал x(t) на интервале (tн,tк) и в некоторый момент времени t0³tк должен выдать решение.
Рассмотрим решение данной задачи при следующих ограничениях (условиях):
1) известен вид сигнала s(t), действующего в интервале времени (0, t0);
2) помеха n(t) является аддитивной и представляет собой белый шум, т.е. спектральная плотность мощности помехи Gn(f)=C, где – постоянная величина.
Приемник является линейной системой, к которой применим принцип суперпозиции. На вход приемника поступает воздействие, представляющее собой смесь полезного сигнала s(t) и помехи n(t): x(t)=s(t)+n(t).
Реакцию такой системы на это входное воздействие можно представить как сумму p(t)=x(t)+e(t), где x(t) – реакция системы, вызванная воздействием полезного сигнала s(t); e(t) – результат преобразования системой помехи n(t). Такое разделение произвести можно, если приемник – линейная система.
Помеху, действующую в канале связи, практически нельзя уменьшить, поэтому для повышения помехоустойчивости и пропускной способности канала связи стремятся обычно увеличить мощность полезного сигнала s(t). Как правило, выбирают максимально возможную мощность, учитывая ограничения, накладываемые аппаратурой и самой линией связи, чтобы обеспечить максимальное отношение Pc/sn2, где Pc – мощность полезного сигнала, а sn2 – мощность помехи, отнесенные к входу приемника
Функция приемника – обработать сигнал, чтобы еще больше увеличить отношение сигнал/помеха. Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне помех как задачу синтеза линейного фильтра, на выходе которого в момент времени t0 имеет место максимум отношении x(t0)/se2, где se2 – мощность (дисперсия) помехи на выходе фильтра.
Рис. 3.1. Импульсная характеристика линейного фильтра
Синтез фильтра заключается в нахождении либо его частотной характеристики W(jf), либо его импульсной характеристики h(t). При этом необходимо, чтобы выполнялось условиеmin[
-2kx(t0)],где k – произвольный постоянный коэффициент.
Учитывая, что спектр помехи e(t) на выходе фильтра зависит от его частотной характеристики:
,определим мощность помехи:
Выходной сигнал фильтра в момент времени t0
