этапах следует производить, чтобы заявкипотребителей были удовлетворены, а наши
общие затраты на производство ихранение за все три этапа были наименьшими.
Исходные данные задачи можно краткозаписать одной строкой:
d1 d2 d3 a b c
h1 h2 h3 y1
3 2 3 1 2 2
4 3 2 3
Воспользовавшись рекуррентнымисоотношениями, последовательно вычисляем F1 (x =
y2), F2 (x = y3),..., Fk (x = yk+1), ... и соответственно находим 1
(x= y2), 2 (x = y3 ), ..., ` k (x = yk+1), ...
Положим k = 1.
Параметр состояния x = у2 может приниматьцелые значения на отрезке
0 у2 d2 + d3 0 y2 2 + 3 т.е. у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Каждому значению параметра состояниядолжна отвечать определенная область
изменения переменной x1, характеризуемаяусловием 0 х1 d1 + у2 или 0 х1 3
+ у2
Из балансового уравнения х1 + у1 - d1 = у2 непосредственно следует, что объем
производства связан созначением параметра состояния x= у2соотношением
x1= y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 3 = y2
В этом и состоит особенность первого этапа.Если задан уровень запаса к
началупервого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1
ипотому F1(x = y2) = W1 (x1, y2)
Придавая у2 различные целые значения от 0до 6 и учитывая предыдущее соотношение,
находим
y2 = 0, x1= 0, W1 (0;0) = 02 + 2×0 + 2 +4×0 = 2*
y2 = 1, x1= 1, W1 (1;1) = 12 + 2×2 + 2 +4×1 = 11
y2 = 2, x1= 2, W1 (2;2) = 22 + 2×2 + 2 +4×2 = 18
y2 = 3, x1= 3, W1 (3;3) = 32 + 2×3 + 2 +4×3 = 29
y2 = 4, x1= 4, W1 (4;4) = 42 + 2×4 + 2 +4×4 = 42
y2 = 5, x1= 5, W1 (5;5) = 52 + 2×5 + 2 +4×5 = 57
Значения функции состояния F1(x )представлены в табл. 1
Таблица 1
x = y2 0 1 2 3 4 5
F1 (x = y2)
2 11 18 29 42 57
x1(x=y2) 0 1 2 3 4 5
Переходим ко второму этапу. Полагаем k =2 и табулируем функцию F2(x = y3)
Здесь минимум берется по единственнойпеременной х2, которая может изменяться в
пределах
0 £ x2 £ d2 + y3 или 0 £ x2 £ 2 + y3
(1)
где верхняя граница зависит от параметрасостояния x = у3, который
принимаетзначения на отрезке
0 £ y3 £ d3 , т.е. 0 £ y3 £ 3
а аргумент у2 связан с х2 и у3 балансовымуравнением x2 + y2 - d2 = y3
откуда следует y2 = y3 + d2 - x2 = =y3 +2 - x2 (2)
Придавая параметру состояния различныезначения от 0 до 3, будем последовательно
вычислять W2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и 2(x ).
Положим x = у3 = 0. Тогда, согласно(1), 0 £ x2 £ 2, т.е.переменная х2 может
принимать значения: 0, 1, 2, а каждому значению х2 отвечаетопределенное значение
у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 2 - х2
Последовательно находим:
если x2 = 0, то у2 = 2 , W2 (0,2) = 02 + 2×0 + 2+
F1(2) = 2 + 18 = 20,
x2 = 1, y2 = 2 - 1 = 1, W2 (1,2) = 12 + 5×1 + 2 + F1(1) = 8 +
11 = 19,
x2 = 2, y2 = 2 - 2 =0, W2(2,2) = 22 + 5×2 + 2 + F1(0) = 16+ 2 = 18*,
Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (0), т.е.
F2(x = y3 = 0) = 18,
причем минимум достигается при значениих2, равном ` 2 (x = y3 = 0) = 2
Положим x = у3 = 1. Тогда, согласно(1), 0 £ x2 £ 3, т.е.переменная х2 может
принимать значения: 0, 1, 2, 3, а каждому значению х2отвечает определенное
значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 3 - х2
Последовательно находим:
если x2 = 0, то y2 = 3-0 = 3, W2 (0,1) = 02 + 2×0 + 2 + 3×1 + F1(3) = 5+
29 = 34,
x2 = 1, y2 = 3-1 = 2, W2 (1,2) = 12 + 2×1 + 2 + 3×1 +F1(2) = 8 + 18 = 26,
x2 = 2, y2 = 3-2 = 1, W2(2,1) = 22 + 2×2 + 2 + 3×1 + F1(1) = 13 +11 =
24,
x2 = 3, y2 = 3-3 = 0, W2 (3,1) = 32 + 2×3 + 2 + 3×1 +F1(0) = 20 + 2 =
22*,
Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (1), т.е.
F2(x = y3 = 1) = min W2 (x2,1) = 22,
причем минимум достигается при значениих2, равном ` 2 (x = y3 = 1) = 3
Положим x = у3 = 2. Тогда, согласно(1), 0 £ x2 £ 4, т.е.переменная х2 может
принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому значению х2отвечает определенное
значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 4 - х2
если x2 = 0, то y2 = 4-0 = 4, W2 (0,2) = 02 + 2×0 + 2 + 3×2 + F1(4) = 8+
42 = 50,
x2 = 1, y2 = 4-1 = 3, W2 (1,2) = 12 + 2×1 + 2 + 3×2 +F1(3) = 11 + 29 =
40,
x2 = 2, y2 = 4-2 =2, W2(2,2) = 22 + 2×2 + 2 + 3×2 + F1(2) = 16 + 18 =
34,
x2 = 3, y2 = 4-3 = 1, W2 (3,2) = 32 + 2×3 + 2 + 3×2 +F1(1) = 23 + 11 =
34*,
x2 = 4, y2 = 4-4 = 0, W2(4,2) = 42 + 2×4 + 2 + 3×2 + F1(0) = 32 + 2 =
40.
Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (2), т.е.
F2 (x = y3 = 2) = min W2 (x2,2) = min (64,55, 50, 49, 52) = 49,
x2
причем минимум достигается при значениих2, равном ` 2 (x = y3 = 2) = 3
Положим x = у3 = 3. Тогда, согласно(1), 0 £ x2 £ 5, т.е.переменная х2 может
принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, а каждому значению х2отвечает определенное
значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 5 - х2
если x2 = 0, то y2 = 5-0 = 5, W2 (0,3) = 02 + 2×0 + 2 + 3×3 + F1(5) = 11+
57 = 68,
x2 = 1, y2 = 5-1 = 4, W2 (1,3) = 12 + 2×1 + 2 + 3×3 +F1(4) = 14 + 42 =
56,
x2 = 2, y2 = 5-2 = 3, W2(2,3) = 22 + 2×2 + 2 + 3×3 + F1(3) = 19 + 29 =
48,
x2 = 3, y2 = 5-3 = 2, W2 (3,3) = 32 + 2×3 + 2 + 3×3 +F1(2) = 26 + 18 =
44*,
x2 = 4, y2 = 5-4 = 1, W2(4,3) = 42 + 2×4 + 2 + 3×3 + F1(1) = 35 + 11 =
46.
x2 = 5, y2 = 5-4 = 0, W2(5,3) = 52 + 2×5 + 2 + 3×3 + F1(0) = 46 + 2 =
48.
Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (3), т.е.
F2(x = y3 = 3) = min W2 (x2,3) = 44,
причем минимум достигается при значениих2, равном ` 2 (x = y3 = 3) = 3
Результаты табулирования функции F2 (x =y3)сведены в табл. 2.
Таблица2
x= у3 0 1 2 3
F2 (x= y3) 18 22 34 44
(x= y3)
2 3 2 или 3 3
Переходим к следующему этапу. Полагаемk=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):
Вычисляем значение функции состояниятолько для одного значения аргумента x = у4
= 0, так как не хотим оставлятьпродукцию в запас в конце исследуемого периода.
0£y4£0; x=y4; 0 £ x3 £ d3 + y4 → 0 £ x3 £ 3; y3 = y4 + d3-x3= y4+3- x3;
W3(x3, y4) = a + bx3 + c + h3y4 + F2(y3)= +2 x3+2 + 2 y4 + F2(y3)
x3=0 y3=3 W3(0;0)=02 + 2×0 +2 +2×0 +F2(3)=2
+44=46
x3=1 y3=2 W3(1;0)=12 + 2×1 +2+2×0 + F2(2)=5
+34=39
x3=2 y3=1 W3(2;0)=22 + 2×2 +2+2×0 +
F2(1)=10+22=32*
x3=3 y3=0 W3(3;0)=32 + 2×3 +2+2×0 +F2(0)=17
+18=35
Получаем F3 (x = y4) = min W3 (x3,0) =32, причем минимум достигается при ` 3(x
= y4 = 0) = 2.
Таким образом, мы получили не толькоминимальные общие затраты на производство и
хранение продукции, но и последнююкомпоненту оптимального решения. Она равна =
2.
Остальные компоненты оптимального решениянайдем по обычным правилам метода
динамического программирования. Чтобы найтипредпоследнюю компоненту, учтем, что
х3 + у3 - -d3 = y4 или 2 + у3 - 3 = 0,oткуда у3 = 1. Из таблицы (2) значений
находим
Аналогично, продолжая двигаться вобратном направлении и учтя, что х2 + у2 - d2 =
y3 или 3 + у2 - 2 = 1,получаем у2 = 0; из таблицы (1)значений х1(x) находим
.
Итак, оптимальный план производства имеетвид х1 = 0, х2 = 3, х3 = 2, а
минимальные общие
затраты составляют 32 единицы.
Полезна самопроверка полученногорезультата. Для этого по исходным данным и
найденному
плану производства заполняем таблицу 5 иубеждаемся, что заявки потребителей на
каждом
этапе выполняются у1 + х1 ³ d1 у2 + х2 ³d2
у3 + х3 ³ d3
3 + 0 ³ 3 0 + 3
³ 2 1 + 2 ³ 3
и что суммарный объем производства иимевшегося к началу первого этапа запаса
продукции равен суммарной потребностиу1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3
3 + 0 + 3 + 2 = 3 + 2 + 3
причем это достигается при наименьшихвозможных затратах на производство и
хранение продукции
j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 =F3(y4=0)
2 + 17 + 10 + 0 + 3 = 32
Самопроверка результатов
ЭТАПЫ январь февраль март Итого за 3 месяца
Имеем продукции к началу месяца, шт. у1 = 3 у2 = 0 у3 = 1 у1 = 3
Производим в течение месяца, шт. х1 = 0 х2= 3 х3 = 2 х1+ х2+ х3 = 5
Отпускаем заказчикам, шт. d1 = 3 d2= 2 d3 = 3 d1+ d2+ d3 = 8
Остаток к концу месяца (храним в течениетекущего месяца), шт. у2 = 0 у3 = 1
у4= 0
Затраты на производство, руб. j(х1)=2 j(х2)=17 j(х3)=10
j(х1) + j(х2) + j(х3)= 29
Затраты на хранение, руб. h1у2 = 0 h2у3 = 3 0
h1у2 + h2у3 = 3
МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ
- производственнаяпрограмма
0*80+ 0,1*60 +0,2*70=20
0,4*80 +0*60 +0,1*70=39
0,2*80 +0,3*60 +0,2*70=48
где Y - объем товарной продукции.
где В – коэффициенты прямых затрат.
h11=4*0+7*0,1+ 2*0,2=1,1
h21=2*0+4*0,1+ 1*0,2=0,6
h31=20*0+13*0,1+ 16*0,2=4,5
h41=0,2*0+0,3*0,1+0,2*0,2=0,07
h12=4*0,4+7*0+ 2*0,1=1,8
h22=2*0,4+4*0+1*0,1=0,9
h32=20*0,4+13*0+16*0,1=9,6
h42=0,2*0,4+0,3*0+ 0,2*0,1=0,1
h13=4*0,2+7*0,3+2*0,2=3,3
h23=2*0,2+4*0,3+1*0,2=1,8
h33=20*0,2+13*0,3+ 16*0,2=11,1
h43=0,2*0,2+0,3*0,3+0,2*0,2=0,17
1,1*80 +1,8*60 +3,3*70=427
0,6*80 +0,9*60 +1,8*70=228
4,5*80 +9,6*60 +11,1*70=1713
0,07*80 +0,1*60 +0,17*70=23,5
где S – полные затраты всех внешнихресурсов.
МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА
Седловой точки нет. Обозначим искомуюоптимальную стратегию первого игрока (х,
1-х). Это вектор-столбец, который мызаписываем для удобства в виде строки.
Обозначим nj(x) – средний выигрыш первогов расчете на партию, когда он
использует стратегию (х, 1-х), а второй – j-юстратегию. Имеем n1(x)=х + 2(1-х);
n2(x)=2х +3(1-х); n3(x)=4х – 2(1-х);n4(x)=5х – 5(1-х). Возьмем на плоскости
систему координат, по горизонтальнойоси вправо отложим х, по вертикальной оси –
значения функции nj(x). Функцииn1(x), n2(x), n3(x), n4(x)- линейные, значит их
графики – прямые линии 1, 2, 3,4 соответственно.
Находим нижнюю огибающую огибающуюсемейства четырех прямых. Находим ее высшую
точку - М. Она и дает решение игры.Ее координаты определяются решением уравнения
n1(x)=n4(x), откуда х*=7/11,n=n1(x)=n4(x)=15/11.
Таким образом, оптимальная стратегияпервого есть Р*=(7/11, 4/11), а цена игры
n=15/11.
Заметим, что при этой стратегии первоговторой игрок не выбирает второй и третий
столбцы. Обозначим вероятность выборавторым игроком первого столбца через y, а
четвертого столбца – через (1- y).Учтем, например, что р1*=х*>0 и воспользуемся
утверждением о том, что еслирк*>0, то М(1; y*)=n, т.е. y* +2(1-y*)=15/11, откуда
y*=7/11.
Окончательный ответ таков: оптимальнаястратегия первого - Р*=(7/11, 4/11),
оптимальная стратегия второго –Q=(7/11;0;0;4/11), цена игры n=15/11.
АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХОПЕРАЦИЙ
Финансовой называется операция, начальноеи конечное состояния которой имеют
денежную оценку и цель проведения которойзаключается в максимизации дохода -
разности между конечной и начальнойоценками. Почти всегда финансовые операции
проводятся в условияхнеопределенности и потому их результат невозможно
предсказать заранее. Поэтомуфинансовые операции рискованны, т.е. при их
проведении возможны как прибыль таки убыток (или не очень большая прибыль по
сравнению с той, на что надеялисьпроводившие эту операцию). Существует несколько
разных способов оценки операциис точки зрения ее доходности и риска. Наиболее
распространенным являетсяпредставление дохода операции как случайной величины и