оценка риска операциикак среднего квадратического отклонения этого случайного
дохода.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4.Найдите средние ожидаемые доходы ириски ri
операций. Нанесите точки ( , ri) на плоскость, найдите операции,оптимальные по
Парето. С помощью взвешивающей формулы найдите лучшую и худшуюоперации.
Взвешивающая формула одна и та же:
j(Q) = 2 - r.
Q1 : 2 4 6 18
1/2 1/4 1/8 1/8
Q2 : 0 4 6 12
1/4 1/4 1/3 1/6
Q3 : 2 5 8 14
ј ј 1/3 1/6
Q4
: 0 1 2 8
1/3 1/3 1/6 1/6
Q1 =å qipi =2*1/2+4*1/4+6*1/8+18*1/8=5
Q21 = 25
M [Q21] = 4*1/2+16*1/4+36*1/8+324*1/8=51;
Q2 = 1+2+2=5
Q22 = 25
M [Q22] = 16*1/4+36*1/3+144*1/6=40;
Q
Q3 = 2+5=7
Q23 = 49
M [Q23] = 4*1/4+36*1/4+64*1/3+196*1/6=64;
Q4 = 2
Q24 = 4
M [Q24] = 1*1/3+4*1/6+64*1/6=70/6;
Нанесем средние ожидаемые доходы `Q ириски r на плоскость - доход откладываем по
горизонтали, а риски по вертикали(см. рис.):
Получили 4 точки. Чем правее точка (`Q,r), тем более доходная операция, чем
точка выше - тем более она рисковая.Значит, нужно выбирать точку правее и ниже.
Точка (`Q¢, r¢)доминирует точку (`Q, r) если `Q¢ ³`Q и r¢ £ r.
Точка, не доминируемая никакой другойназывается оптимальной по Парето, а
множество всех таких точек называется множествомоптимальности по Парето. Легко
видеть, что если из рассмотренных операций надовыбирать лучшую, то ее
обязательно надо выбрать из операций, оптимальных поПарето.
Для нахождения лучшей операции иногдаприменяют подходящую взвешивающую формулу,
которая для пар (`Q, r) дает одночисло, по которому и определяют лучшую
операцию. Например, пусть взвешивающаяформула есть j (Q)= 2×Q - r . Тогда
получаем:
j (Q1)= 2*5-5,1 = 4,9; j (Q2)=2*5-3,9=6,1; j (Q3)= 2*7-3,9=10,1; j (Q4)=
2*2-2,8=1,2
Видно, что 3-я операция - лучшая, а 4-я -худшая.
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯЦЕННЫХ БУМАГ
Пусть V - матрица ковариаций рисковыхвидов ценных бумаг), M=(mi)
-вектор-столбец ожидаемых эффективностей долей xi капитала, вкладываемых вi-й
вид рисковых ценных бумаг, i=1,..,n. Пусть также I - n-мерныйвектор-столбец,
компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значениедолей xi есть
.
Здесь V-1 - матрица, обратнаяк V . В числителе дроби стоит число,
взнаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс Т
означаеттранспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем
константа,определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V-1(M-m0I) -
вектор-столбец размерности n .Видно, что этот вектор не зависит от
эффективности портфеля mp. Таким образом, вектор долей рисковыхвидов ценных
бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от mp. Следовательно,
структура рисковой частипортфеля не зависит от mp. Однако суммакомпонент
вектора X* зависит от mp, именно, компоненты вектораX* пропорционально
увеличиваются сростом mp, поэтому доля x0 безрисковых вложений будет при
этом сокращаться.
Сформировать оптимальный портфельзаданной эффективности из трех видов ценных
бумаг: безрисковых эффективности 3и некоррелированных рисковых ожидаемой
эффективности 5 и 9и рисками 3 и 6 . Как устроенарисковая часть
оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает
необходимость воперации "short sale" и скакими ценными бумагами? Решение.
Итак,m0 =3, M= , V= . Зададимся эффективностью портфеля mp.
Теперь надо найти обратную матрицу кматрице V . Это просто: V-1 = . Вычислим
знаменатель:
.
Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X*=((mр-3)9/13)
Для безрисковых бумаг соответственноравняется x*0 =1- 4/26(mр-3)
–3/26(mр-3)=42-7mр/26.
Понятно, что необходимость воперации "short sale" возникнет, если x*0 < 0,
т.е. когда mр> 6 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Математическиеметоды принятия решений в экономике. Учебник под ред. проф.
Колемаева В.А. -М.:ЗАО "Финстатинформ", 1999.
2. КолемаевВ.А., Калинина В.Н. Теория вероятностейи математическая
статистика. -М.: Инфра-М, 1999.
3. ГатауллинТ.М., Карандаев И.С., Статкус А.В. Целочисленное программирование
в управлении производством. МИУ, М.,1987.
4. ГмурманВ.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая
школа, 1998.
5. ГмурманВ.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математическойстатистике. -М.: Высшая школа, 1998.
6. ЕрмольевЮ.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы
исследования операций. -Киев: Вища школа, 1979.
7. ЕршовА.Т., Карандаев И.С., Шананин Н.А. Планирование производства и
линейное программирование. МИУ, М., 1981.
8. ЕршовА.Т., Карандаев И.С., Статкус А.В. Матричные игры и графы. МИУ, М.,
1986.
9. ЕршовА.Т., Карандаев И.С., Юнисов Х.Х. Исследование операций. МИУ, М.,
1990.
10. КалининаВ.Н., Панкин В.Ф. Математическаястатистика. -М.: Высшая
школа,1998.
11. КарандаевИ.С. Двойственные оценки в управлении.МИУ, М., 1980.
12. КарандаевИ.С. Решение двойственных задач воптимальном
планировании. -М.: Статистика, 1976.
13. КарандаевИ.С. Начала линейного, нелинейного идинамического
программирования. -М.: Знание, 1968.
14. КарандаевИ.С. Руководство к решению задач поматематическому
программированию. МИУ, М., 1973.
15. КарандаевИ.С., Гатауллин Т.М. Математическийаппарат линейных
оптимизационных задач в управлении производством. МИУ, М., 1986.
16. КарандаевИ.С. и др. Математические методыисследования операций
в примерах и задачах. ГАУ, М.,1993.
17. КолемаевВ.А. Математическая экономика. -М.:Инфра-М, 1998.
18. МалыхинВ.И. Математика в экономике. -М: Инфра-М, 1999.
19. МалыхинВ.И. Математическое моделирование экономики. -М: УРАО,
1998.
20. МалыхинВ.И. Финансовая математика. -М: Юнити, 1999.
21. МалыхинВ.И., Статкус А.В. Теория принятия решений. МИУ, М.,
1989.
22. НейманД., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.
-М.: Наука, 1970.
23. ПервозванскийА.А., Первозванская Т.Н. Финансовыйрынок: расчеты
и риск. -М.: Инфра -М., 1994.
24. СаковичВ.А. Исследование операций. -Минск:Высшая школа, 1985.
25. СолодовниковА.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в
экономике. –М.: Финансы и статистика, 1998.
26. ТахаХ. Введение в исследование операций. –М.: Мир, 1985.