Методика оптимизации структуры и параметров библиотечной автоматизированной системы обеспечения информационными услугами (стр. 2 из 12)

(1.12)

При этом график

окажется вписанным в прямоугольник с координатами (a;0), (a;1), (b;1), (b;0), (рис. 1.1).

Рис. 1.1 - График

Выберем пару чисел

и из равномерно распределенных в интервале последовательностей При этом пара чисел и определяет случайную точку в указанном прямоугольнике. Теперь в качестве случайных чисел с заданной плотностью будем принимать те , для которых Если же это неравенство не выполняется, то пара отбрасывается и формируется следующая.

Докажем, что закон распределения отобранных таким образом чисел

соответствует распределению Для доказательства выберем интервал и введем области

и

(1.13)

Вычислим вероятность попадания не отброшенных точек в область

Так как

(1.14)

а

(1.15)

и

(1.16)

то искомая вероятность

(1.17)

полученная вероятность равна вероятности попадания случайной величины, распределенной в соответствии с

на интервал откуда следует требуемое.

1.3 Элементы теории массового обслуживания

1.3.1. Предмет теории массового обслуживания

Одним из математических методов исследования стохастических сложных систем является теория массового обслуживания, занимающаяся анализом эффективности функционирования так называемых систем массового обслуживания. Работа любой такой системы заключается в обслуживании поступающего на нее потока требований, или заявок. Заявки поступают на систему одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего система освобождается для обслуживания очередной заявки. Каждая такая система может состоять из нескольких независимо функционирующих единиц, которые называют каналами обслуживания, или обслуживающими аппаратами. Примерами таких систем могут быть: телефонные станции, билетные кассы, аэродромы, вычислительные центры, радиолокационные станции и т. д. Типичной системой массового обслуживания является автоматизированная система управления производством.

Математический аппарат теории массового обслуживания позволяет оценить эффективность обслуживания системой заданного потока заявок в зависимости от характеристик этого потока, числа каналов системы и производительности каждого из каналов.

В качестве критерия эффективности системы обслуживания могут быть использованы различные величины и функции, например: вероятность обслуживания каждой из поступающих заявок, средняя доля обслуженных заявок, среднее время ожидания обслуживания, среднее время простоя каждого из каналов и системы в целом, закон распределения длины очереди, пропускная способность системы и т. д. Численное значение каждого из этих критериев в той или иной степени характеризует степень приспособленности системы к выполнению поставленной перед ней задачи — удовлетворение потока поступающих в систему требований.

Часто термин «пропускная способность» используется в следующем узком смысле: среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Эффективность систем обслуживания может быть оценена также величиной относительной пропускной способности— средним отношением числа обслуженных заявок к числу поступивших.

В силу случайного характера моментов поступления заявок процесс их обслуживания представляет собой случайный процесс. Теория массового обслуживания позволяет получить математическое описание этого процесса, изучение которого дает возможность оценить пропускную способность системы и дать рекомендации по рациональной организации обслуживания.

Все системы массового обслуживания имеют вполне определенную структуру, схематически изображенную на рис. 1.2. В соответствии с рисунком в любой системе массового обслуживания будем различать следующие основные элементы: входящий поток, выходящий поток, собственно система обслуживания.

Поток требований, нуждающихся в обслуживании и поступающих в систему обслуживания, называется входящим. Поток требований, покидающих систему обслуживания, называется выходящим.

Рис. 1.2 - Схема системы массового обслуживания

Совокупность обслуживающих аппаратов вместе с системой правил, устанавливающих организацию обслуживания, образуют систему обслуживания.

1.3.2 Входящий поток. Простейший поток и его свойства

События, образующие входящий поток, вообще говоря, могут быть различными, но здесь будет рассматриваться лишь однородный поток событий, отличающихся друг от друга только моментами появления. Такой поток можно представить в виде последовательности точек

на числовой оси (рис. 1.3), соответствующих моментам появления событий.

Рис. 1.3 - Однородный поток событий

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такие потоки редко встречаются в реальных системах, для которых типичным является именно случайность моментов поступления требований. Рассмотрим случайный входящий поток, обладающий особенно простыми свойствами.

Введем ряд определений:

Поток событий называется стационарным, если вероятность поступления заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной длины зависит только от продолжительности этого интервала, но не зависит от его расположения на временной оси.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или более событий в течение элементарного интервала времени

есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых не перекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Если поток событий удовлетворяет всем трем перечисленным условиям (т. с. он стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим потоком. Для простейшего потока число событий, попадающих па любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона, поэтому его иначе называют стационарным пуассоновским.

Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, постоянной является плотность потока — среднее число заявок в единицу времени. Заметим, что свойство стационарности выполняется, по крайней мере на ограниченном отрезке времени, для многих реальных процессов.

Условие ординарности означает, что заявки поступают в систему поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток обстрелов, которому подвергается воздушная цель в зоне действия комплекса ЗРВ, является ординарным, если стрельба ведется одиночными ракетами, и не является ординарным, если стрельба идет одновременно двумя или тремя ракетами.

Условие отсутствия последействия является наиболее существенным для простейшего потока. Выполнение этого условия означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, можно сказать, что последействие отсутствует для потока пассажиров, входящих в метро, так как отсутствует зависимость между причинами, вызвавшими приход каждого из пассажиров на станцию. Но как только эта зависимость появляется, условие отсутствия последействия нарушается. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не обладает свойством последействия, так как моменты выхода для пассажиров, прибывших на станцию одним и тем же поездом, зависимы между собой.