Методика оптимизации структуры и параметров библиотечной автоматизированной системы обеспечения информационными услугами (стр. 3 из 12)

Вообще следует заметить, что выходящие потоки заявок, покидающих систему обслуживания, обычно имеют последействие, даже если входящий поток его не имеет. В этом легко убедиться на примере рассмотрения выходящего потока для одноканальной системы массового обслуживания с фиксированным временем обслуживания

. Выходящий поток такой системы обладает тем свойством, что минимальный интервал между последовательными обслуженными заявками будет равен . При этом, если в некоторый момент систему покинула заявка, то можно утверждать, что на интервале обслуженных заявок больше не появится и, таким образом, имеется зависимость между числом событий на не перекрывающихся интервалах.

Отметим, что, если на систему обслуживания поступает самый простой, на первый взгляд, регулярный поток, анализ процессов функционирования системы является существенно более сложным, чем, например, при поступлении простейшего потока, именно вследствие жесткой функциональной зависимости, которая имеет место для заявок регулярного потока.

В дальнейшем будет рассматриваться только простейший входящий поток в силу особой его роли в теории массового обслуживания.

Дело в том, что простейшие или близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике. Кроме того, при анализе систем обслуживания во многих случаях можно получить вполне удовлетворительные результаты, заменяя входящий поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Наконец, важное свойство простейшего потока состоит в том, что при суммировании большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны при этом соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы: складываемые потоки должны оказывать на сумму равномерно малое влияние.

Получим аналитическое описание простейшего потока и рассмотрим его свойства подробнее.

Рис. 1.4 - Простейший поток событий

Рассмотрим на оси

простейший поток событий (рис. 1.4) как неограниченную последовательность случайных точек. Выделим произвольный интервал времени длиной . Как уже отмечалось, если поток событий является простейшим, то число событий, попадающих на интервал т, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием

(1.18)

где

- плотность потока.

В соответствии с законом Пуассона вероятность того, что за время

произойдет ровно т событий, равна

(1.19)

Тогда вероятность того, что не произойдет ни одного события, будет

(1.20)

Отсюда вероятность того, что за время

произойдет хотя бы одно событие, равна

(1.21)

Важной характеристикой потока является закон распределения длин интервалов между событиями. Пусть

- случайная длина интервала времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке (рис. 1.4) и - искомый закон распределения продолжительности временного интервала между последовательными событиями. С другой стороны, вероятность может быть интерпретирована как вероятность появления хотя бы одного события в течение временного интервала продолжительностью t, начинающегося в момент поступления в систему некоторого события.

Поскольку простейший поток не обладает последействием, наличие события в начале интервала t не оказывает никакого влияния на вероятность появления событий в дальнейшем. Поэтому вероятность

может быть вычислена по формуле

(1.22)

откуда, имея в виду (1.20),

(1.23)

Дифференцируя (1.23), находим плотность распределения длин интервалов между последовательными событиями

(1.24)

Закон распределения с плотностью (1.24) называется показательным с параметром λ.

1.3.3 Время обслуживания

Как уже отмечалось, эффективность системы обслуживания зависит не только от характеристик входящего потока, но и от производительности самой системы обслуживания, т. е. от числа каналов и быстродействия каждого из них. В связи с этим время обслуживания одной заявки Тоб является важной характеристикой системы, В силу самых различных причин время обслуживания в реальных системах может меняться от одного требования к другому. Поэтому в общем случае разумно считать время обслуживания случайной величиной.

Введем закон распределения времени обслуживания

(1.25)

и плотность его распределения

(1.26)

Для практики особый интерес представляет случай, когда продолжительность времени обслуживания имеет показательный закон распределения, т. е.

(1.27)

Параметр

имеет простой физический смысл. Величина, обратная , равна математическому ожиданию времени обслуживания.

Важная роль, которую играет показательный закон времени обслуживания, связана с уже упоминавшимся свойством этого закона. Применительно к данному случаю оно формулируется следующим образом: если в какой-то момент происходит обслуживание требования, то закон распределения оставшегося времени обслуживания не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось.

Таким образом, процесс обслуживания заявок не обладает последействием и поэтому для его анализа может быть использован аппарат теории марковских процессов.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место во многих практических задачах, когда обслуживание сводится к последовательности попыток, каждая из которых приводит к необходимому результату с некоторой вероятностью.

Примером такого обслуживания является обстрел цели, заканчивающийся после поражения цели. Предположим, что последовательность выстрелов, каждый из которых поражает цель с вероятностью

, образует простейший поток с плотностью .

Из этого потока выделим поток успешных выстрелов (выстрел будем называть успешным, если имеет место попадание в цель). Поскольку каждый из выстрелов независимо от других может оказаться успешным, поток успешных выстрелов так же, как и исходный, будет простейшим с плотностью

.

Закон распределения интервала времени между попаданиями имеет вид

(1.28)

откуда плотность распределения времени обслуживания

(1.29)

что соответствует показательному закону с параметром

.

Количество примеров реальных систем, в которых обслуживание сводится к последовательности попыток, можно значительно увеличить. К такому типу можно отнести обслуживание по устранению неисправностей технических устройств, когда поиск неисправного элемента ведется путем использования ряда тестов. Совершенно аналогичной является задача обслуживания, заключающаяся в обнаружении воздушной цели радиолокатором, многократно зондирующим исследуемое пространство, причем цель может с некоторой вероятностью обнаруживаться в каждом из циклов обзора.