Табличный симплекс-метод (стр. 1 из 3)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЧНОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на ЭВМ.

1.КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДАННОГО ТИПА

1.1 Математическое программирование

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x₁, x₂, ... , x_n ) при ограничениях g_i ( x₁, x₂, ... , x_n ) * b_i , где g_i - функция, описывающая ограничения, * - один из следующих знаков £ , = , ³ , а b_i - действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели ( целевая функция ).

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max

при условии : a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n £ b₁ ;

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n £ b₂ ;

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + . . . + a_mn x_n £ b_m ;

x₁³ 0, x₂³ 0, _{. . .} , x_n³ 0 _.

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max c^T x

при условии

A x £ b ;

x ³ 0 ,

где А - матрица ограничений размером ( m´n), b^(m´1) - вектор-столбец свободных членов, x^{(n ´ 1)} - вектор переменных, с^Т = [c₁, c₂, ... , c_n ] - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х₀ называется оптимальным, если для него выполняется условие с^Т х₀³ с^Т х, для всех х Î R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

1.2 Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему :

Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ”или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

Формируется симплекс-таблица.

Рассчитываются симплекс-разности.

Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

При необходимости выполняются итерации.

На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

1.3 Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m , а в задачи минимизации - с положительными m . Таким образом из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

1.4 Модифицированный симплекс - метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - а₁ , оборудованием 2-го типа - а₂ , оборудованием 3-го типа - а₃ .На производство единицы изделия В идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - b₁ , оборудованием 2-го типа - b₂ ,_, оборудованием 3-го типа - b₃ .

На изготовление всех изделий администрацияпредприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t₁ ,оборудование 2-го типа не более, чем на t₂ , оборудование 3-го типа не более, чем на t₃ часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет a рублей, а изделия В - b рублей.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами.

а₁ = 1 b₁ = 5 t₁ = 10 a = 2

а₂ = 3 b₂ = 2 t₂ = 12 b = 3

а₃ = 2 b₃ = 4 t₃ = 10

3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Построение математической модели задачи

На произв-во изделия А, часов	На произв-во изделия B, часов	Предпр-е предоставит, часов
Оборуд-е 1го типа	1	5	10
Оборуд-е 2го типа	3	2	12
Оборуд-е 3го типа	2	4	10
Прибыль от реализации, за ед. изд-я	2	3

Построение математической модели осуществляется в три этапа :

1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель.

Так как требуется определить план производства изделий А и В, то переменными модели будут:

x₁ - объём производства изделия А, в единицах;

x₂ - объём производства изделия В, в единицах.

2. Формирование целевой функции.

Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x₁ + 3x₂ ( рублей ). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции : определить допустимые значения переменных x₁ и x₂ , максимизирующих целевую функцию F = 2x₁ + 3x₂ .

3. Формирование системы ограничений.

При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет предоставить на изготовления всех изделий. Это приводит к следующим трём ограничениям :

x₁ + 5x₂ £10;3x₁ + 2x₂ £ 12 ; 2x₁ + 4x₂£ 10 .

Так как объёмы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то появляются ограничения неотрицательности :

x₁ ³ 0 ; x₂³ 0 .

Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде : определить план x₁ , x₂ , обеспечивающий максимальное значение функции :

max F = max ( 2x₁ + 3x₂ )

при наличии ограничений :

x₁ + 5x₂ £10;

3x₁ + 2x₂ £ 12 ;

2x₁ + 4x₂£ 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂³ 0 .

3.2 Решение задачи вручную

Табличный метод ещё называется метод последовательного улучшения оценки. Решение задачи осуществляется поэтапно.

1. Приведение задачи к форме :

x₁ + 5x₂ £10;

3x₁ + 2x₂ £ 12 ;

2x₁ + 4x₂£ 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂³ 0 .

2. Канонизируем систему ограничений :

x₁ + 5x₂ + x₃ =10;

3x₁ + 2x₂ + x₄ = 12 ;

2x₁ + 4x₂ + x₅ = 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂³ 0 .

A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₀

3. Заполняется исходная симплекс-таблица и рассчитываются симплекс-разности по формулам :

d₀ =

- текущее значение целевой функции

d_i =

- расчёт симплекс-разностей, где j = 1..6 .