Выращивание профильных монокристаллов кремния методом Степанова (стр. 3 из 9)
Области существования столбов жидкости различной формы:
А — погнутые столбы; В — выпукло-вогнутые; С—выпуклые. Кривые разделяют области В и С; 1 - для x0=0,1; 2 - 0.5; 3 - 1,0; 4—5,0
Это давление складывается из двух частей: давления, необходимого для подъема основания столба расплава на высоту h, и давления P1, действующего на поверхность столба расплава, которое уравновешивается силой тяжести столба расплава и силами поверхностного натяжения:
(18)
Трудность определения P состоит в том, что значение P1 неизвестно. Однако в первом приближении можно считать, что оно по всех точках поверхности столба расплава одинаково. Тогда давление, при котором еще существует вогнутый столб расплава:
(19)
Давление, при котором существует полностью выпуклый столб расплава, определяется соотношением:
(20)
Выпукло-вогнутый столб расплава может существовать в интервале давлений:
(21)
На рис. 6 схематически изображен столбик расплава в формообразователе при вытягивании кристалла круглого сечения в режиме “зацепления”.
Зависимость высоты столба расплава от диаметра кристалла (при постоянном значении диаметра отверстия в формообразователе) может быть представлена семейством кривых, каждая из которых соответствует определенному давлению столба расплава. Эмпирическая зависимость такого типа для выращивания кристаллов германия представлена на рис. 7 (диаметр отверстия в формообразователе 3,2 мм).
При малой высоте фронта кристаллизации над поверхностью формообразователя диаметр вытягиваемого кристалла совпадает с диаметром отверстия в формообразователе даже при значительных изменениях давления расплава. Однако вследствие нестабильности режима кристаллизации фронт кристаллизации при некоторых условиях может оказаться в глубине формообразователя и это приведет к дефектам типа “затиров” на поверхности кристаллов.
Основные параметры столба расплава, образующегося при вытягивании столба расплава, кристаллического стержня круглого сечения:2r0—высота столба расплава у фронта кристаллизации:2rФ – диаметр отверстия в формообразователе; Р—давление, под которым расплав подается в отверстие формообразователя; Rо—радиус кривизны профильной кривой столба расплава; q—угол смачивания расплава с формообразователем; a0, a01 — углы сопряжения столба расплава с вытягиваемым кристаллом и поверхностью формообразователя; t — толщина стенок формообразователя;
g — угол наклона стенок в отверстии формообразователя; А и В — верхняя н нижняя кромки формообразователя соответственно; 1 — горизонтальная поверхность формообразователя; 2—столб расплава; 3—расплав;. 4— фронт кристаллизации; 5 — формообразователь; 6 — вытягиваемый кристалл.
(рис 7)
Зависимость высоты столба расплава в отверстии формообразователя h от диаметра вытягиваемого кристалла d при различных значениях давления расплава, мм рт. ст.:
1 – 6; 2 - 7; 3 – 8; 4 - 10 ; пунктирная кривая — расчетная
Если сформированный столб расплава соответствует оптимальному давлению расплава, то даже при значительных смещениях положения фронта кристаллизации диаметр вытягиваемого кристалла сохраняется постоянным но его длине (рис. 7, кривая 3). В этом случае столб расплава близок к цилиндрическому.
При давлении расплава больше оптимального диаметр кристалла равен диаметру отверстия в формообразователе лишь при малой высоте столба расплава (рис. 7, кривая 4).
С увеличением высоты фронта кристаллизации происходит растекание столба расплава и процесс формообразования становится неуправляемым.
Можно определить величину оптимального давления расплава Ропт, которое необходимо для создания цилиндрического столба расплава, решая капиллярное уравнение Лапласа. Если R0®¥, a0»a01»p/2, то имеем:
(22)
где rср.—средняя величина второго главного радиуса, характеризующего поперечное сечение столба расплава (в первом приближении можно принять r = rср).
Если профильная кривая столба расплава описана как Rо, то изменение радиуса столба расплава с высотой дается выражениями:
(23)
(24)
где R0 - радиус кривизны периметра фронта кристаллизации.
Отсюда следует, что чем больше Ro, тем меньше колебания высоты столба расплава сказываются на постоянстве размеров кристалла. При экспериментах получены стержни германия диаметром 7,62+0,02 мм (при давлении расплава 3,4 гс/см2 и высоте столба расплава 0,5мм) и 7,75+0,03 мм (при давлении расплава 3,2 гс/см2 и высоте столба расплава 0,8 мм). Диаметр отверстия в формообразователе в обоих случаях был равен 8,0 мм.
Рассмотренные выше условия стационарного процесса вытягивания предполагают, что форма и размеры поперечного сечения затравки идентичны соответствующим параметрам профильного кристалла.
Решая уравнение теплового баланса и учитывая распределение температур в жидкой фазе, можно получить выражение для высоты столба расплава:
(25)
где
р—плотность вещества;
f—скорость вытягивания;
L—удельная теплота плавления;
lж, lТВ—коэффициент теплопроводности расплава и твердой фазы соответственно;
T0— температура кристаллизации;
Tж—температура жидкой фазы (столба расплава в точке с координатой у);
Tb.ж —то же, в точке у =0;
— градиент температуры в кристалле.
Основными параметрами, позволяющими управлять положением фронта кристаллизации, являются Tж0, dTТВ / dy, f. Если изменение высоты фронта кристаллизации от значения y1 до значения y2 происходит в результате соответствующего изменения температуры расплава от Тж, до Tж0, то
(26)
Аналогично при изменении скорости вытягивания
(27)
Изменение градиента в твердой фазе вызовет изменение высоты фронта кристаллизации:
(28)
Эксперименты показали, что при вытягивании прямоугольных кристаллов с поперечным сечением 40Х35 и 8Х80 мм или труб диаметром 40 мм с использованием затравок стационарное состояние устанавливается на длине кристалла 10—15 см.
Из основных результатов расчетов сделаны следующие выводы:
1. Максимальная высота жидкого столба уменьшается с ростом положительного градиента поверхностного натяжения (при вытягивании из перегретого расплава).и увеличивается с ростом отрицательного градиента поверхностного натяжения (при вытягивании из переохлажденного расплава). Влияние переохлаждения на высоту жидкого столба гораздо значительнее, чем влияние перегрева.
2. Эффект изменения высоты под влиянием градиента поверхностного натяжения тем больше, чем больше угол, образуемый профильной кривой у кромки формообразователя с горизонталью.
3. С увеличением диаметра отверстия формообразователя (уменьшением кривизны жидкого столба) влияние градиента поверхностного натяжения усиливается.
4. С ростом градиента поверхностного натяжения изменяются положение и форма профильной кривой относительно оси координат. Положительный градиент поверхностного натяжения сдвигает ее вправо, а отрицательный — влево.
Распределение температуры в растущем кристалле дается уравнением теплопроводности. Для определения термических напряжений необходимо решить по крайней мере двумерное уравнение теплопроводности. А. И. Губанов и А. А. Нраньян выполнили расчет распределения температуры в пластинах германия при вытягивании из расплава. Если направление вытягивания совпадает с осью Z, а ось Х перпендикулярна плоскости пластины, то уравнение теплопроводности для стационарных условий запишется в виде
(29)
где Т — температура, К;
f — скорость вытягивания;
с — теплоемкость;
р — плотность;
l — коэффициент теплопроводности, который зависит от температуры.
Зависимость К от Т можно представить:
;
где Tкр.ст. — температура кристаллизации;