Формирование инвестиционного портфеля (стр. 4 из 6)
3.6. Метод субоптимизации на многообразиях в задаче квадратичного программирования. Теоретическое обоснование.
Заметим, что если множество индексов Á порождает базис UÁ, то задача(3.5.1), соответствующая этому множеству индексов имеет единственный оптимальный вектор x*, обладая при этом свойством единственности, введенным ранее для задачи выпуклого программирования.
Выше были описаны вспомогательные задачи метода субоптимизации на многообразиях, однако не были сформулированы правила применения этих операций. Ниже будут доказаны две теоремы, дающие способ определения неизвестных шагов qиd. Для их доказательства потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1.Пусть вектора x0, x1удовлетворяют системе уравнений условий Куна-Таккера и пусть f(x) - неотрицательно определенный квадратичный функционал вида xTDx,а D1 вектор ограниценных по знаку множителей Лагранжа, удовлетворяющих условиям Куна-Таккера совместно с вектором x1 . Тогда имеет место следующее неравенство:
 | (3.6.1) |
Доказательство:
Преобразуем левую часть следующим образом:
Здесь можно воспользоваться условием выполнения теоремы Куна-Таккера:
Требуемое неравенство непосредственно вытекает из последнего соотношения.
Следствие. Пусть x0, x0(q) - оптимальные точки задачи (3.5.1) с некоторым множеством индексов Á и вспомогательной задачи поиска минимума на многообразии (3.5.4). Тогда имеет место неравенство:
Доказательство. Так какx0, x0(q)удовлетворяют условиям Куна-Таккера, то выполняется неравенство Леммы 1:
В силу особенностей решений x0, x0(q)правую часть неравенства можно записать в виде
что и доказывает справедливость следствия.
Лемма 2. Пусть x0, x1 - оптимальные точки многообразий XÁ0 и XÁ1 соответственно, удовлетворяющие условиям Куна-Таккера совместно с множителями Лагранжа D0 и D1. Тогда справедливо соотношение:
Доказательство: Аналогично доказательству Леммы 1, получаем, что:
Складывая эти два равенства, получаем:
Из выполнения условий Куна-Таккера следует, что:
Раскрывая скобки в левой части неравенства получаем искомое неравенство.
Ниже будет доказана теорема, дающая направление движения и условия применения операции А.
Теорема 1. Пусть оптимальная точка x0 - оптимальная точка многообразия XÁ0 , причем совокупность индексов Á0 порождает базис UÁ0 . Тогда, если среди множителей Лагранжа, соответствующих x0 , существует отрицательный (предположим, что он имеет индекс j0)
то новый набор индексов
также порождает базис
и в единственной оптимальной точке 
на многообразии 
выполнено условие 
Доказательство. Если для набора индексов
существует оптимальный вектор , то в силу утверждения леммы 2 и определения нового набора индексов имеем 
с другой стороны, в силу условия единственности,
Итак, если оптимальная точка на новом многообразии существует, то доказываемое неравенство верно. Существование же оптимальной точки вытекает из того факта, что новый набор индексов порождает базис. Это так, если коэффициент Dj0j0 в разложении (3.5.6) не равен нулю.
Предположим, что этот коэффициент равен нулю. В этом случае, в силу следствия из леммы и условия отрицательности Dj0 квадратичный функционал f(x) оказывается отрицательно определенным. Теорема доказана.
Теорема 1 указывает направление движения по многообразиям с помощью операции А. Переход от многообразия XÁ0 к многообразию
осуществляется с помощью движения по многообразиям XÁ0(q) при возрастании q от нуля до некоторой величины 
В силу вида нового множества индексов
величина q0 определяется из условия обращения в ноль соответствующего множителя Лагранжа: 
Сформулируем и докажем аналогичную теорему для операции Б:
Теорема 2. Пусть Á0 и Á1 наборы индексов, порождающие базис UÁ1,Á0 , такие, что:
причем в разложении
 | (3.6.2) |
коэффициент
. Пусть также для множества индексов существует оптимальный вектор
для задачи (3.5.1), причем такой, что он не является допустимым для исходной задачи (3.1.2), т.е. 
Тогда, если x1- оптимальная точка задачи (3.5.1) на многообразии XÁ1 , то Á1 порождает базис UÁ1 , а оптимальная точка x1 принадлежит прямой (3.5.15):
 | (3.6.3) |
Доказательство. Разложим вектор P0 по базису UÁ1 , а вектор Pm+n+r по базису UÁ1,Á0 :
подставляя второе выражение в первое, и учитывая определение прямой (3.5.15) получаем очевидное следствие:
Кроме того, учитывая разложение (3.6.2), получаем, что
 | (3.6.4) |
А согласно лемме 2, имеем:
Отсюда и из условия теоремы следует, что
Отсюда и из (3.6.4) вытекает доказываемое неравенство. Кроме того, из (3.6.4) также следует отличие от нуля коэффициента
, что приводит к выводу о линейной независимости системы векторов UÁ1 . Это доказывает второе утверждение теоремы.