Формирование инвестиционного портфеля (стр. 5 из 6)
Теорема 2 указывает направление перехода от одного многообразия к другому с помощью операции Б, утверждая положительность величины шага d1 .
3.7. Вычислительная схема алгоритма субоптимизации для задачи квадратичного программирования.
Ранее (см 3.4) была приведена общая схема алгоритма субоптимизации на многообразиях для случая задачи выпуклого программирования и получена блочная структура алгоритма. Конкретизируем теперь структуру блоков для случая задачи квадратичного программирования.
Блок1.
Определяется начальный набор индексов Á1 , порождающий базис UÁ1 , для которого оптимальная точка задачи (3.5.1) является одновременно допустимой для исходной задачи (3.1.2). Такая точка в [2] называется дополняющей.
В кочестве начального множества индексов можно взять начальный базис, получаемый в ходе решения первой фазы двухфазного симплекс-метода, или же решение задачи линейного программирования, близкой к решаемой квадратичной:
Блок 3.Блок полностью идентичен приведенному ранее в описании алгоритма субоптимизации на многообразиях для задачи выпуклого программирования.
Блок 2. В данном блоке определяется решение вспомогательной задачи (3.5.1). Способ определения решения зависит от предыдущего блока алгоритма:
Блок 2(А). Эта часть блока вступает в действие после блока 3. Оптимальный вектор задачи (3.5.1) находится с помощью операции А. Если полученный оптимальный вектор допустим для исходной задачи (3.1.2), осуществляется переход в блок 3. В противном случае осуществляется переход в блок 4.
Критерием выбора следующего шага является сравнение двух величин:
Первая величина задает момент обращения в ноль выбранной минимальной величины Dj0 , вторая величина задает момент обращения в ноль первой из базисных компонент вектора x. Если вторая величина оказывается меньше первой, это означает, что новое решение задачи (3.5.1), полученное в результате операции А, не является допустимым для исходной задачи (3.1.2), и необходим переход в блок 4.
Блок 2(Б). Эта часть блока вступает в действие после блока 4. В этом блоке минимум в задаче (3.5.1) находится с помощью операции Б. Если получаемое решение оказывается допустимым для исходной задачи (3.1.2), то осуществляется переход в блок 3. В противном случае осуществляется переход в блок 4.
Критерием выбора следующего шага в этой части блока является сравнение двух величин:
Блок 4. Этот блок полностью соответствует соответствующему блоку в общем алгоритме субоптимизации на многообразиях для задачи выпуклого программирования.
3.8. Некоторые особенности вычислительной схемы метода субоптимизации на многообразиях для задачи квадратичного программирования.
В этой части будет рассмотрен вычислительный аспект процедуры субоптимизации и показаны некоторые ее замечательные свойства.
Выше было показано, что решение каждой вспомогательной задачи метода субоптимизации сводится к поиску разложения некоторого вектора R размерности (m+n) по базису UÁ1,Á2; при этом на соседних итерациях базисы отличаются лишь каким-то одним из векторов.
Как было показано выше, существуют четыре возможных альтернативы при переходе от одного базиса к другому, задающие четыре типа операций:
1. От UÁ1 к UÁ2 (Á2=Á1\ j0) при помощи замены в базисе вектора Pm+n+j0на Pm+j0.
2. От UÁ1 к UÁ2,Á1 (Á2=Á1\ j0U r) при помощи замены в базисе вектора Pm+rна Pm+j0.
3. От UÁ2,Á1 (Á2=Á1\ j0U r) кUÁ2 при помощи замены в базисе вектора Pm+n+j0на Pm+n+r.
4. От UÁ2,Á1 (Á2=Á1\ j0U r) к UÁ2',Á2' (Á'2=Á2 U r',Á'1=Á1 U r' ) при помощи замены в базисе вектора Pm+rна Pm+n+r'.
Процедура разложения вектора R по базису эквивалентна решению системы линейных уравнений вида
где B - базисная часть матрицы P (то есть матрица, составленная из столбцов матрицы P, соответствующих векторам данного базиса).Решение уравнения есть процедура, эквивалентная обращению матрицы B.
Из общего вида матрицы P(3.2.4)можно получить общий вид матрицы B,которая также имеет блочную структуру следующего вида:
Можно показать, что
Видно, что зная матрицу S1-1 можно легко получить значение матрицы B-1. Используя общий вид переходов, а также их общее свойство, сводящееся к замене одного вектора на другой, можно применить для нахождения S1-1 известную формулу Фробениуса, и получить рекуррентные формулы, связывающие матрицы S1-1 на соседних итерациях. Это позволяет избежать непосредственного обращения матрицы на каждом шаге алгоритма, прибегая к нему через определенный промежуток времени с целью коррекции накопившейся ошибки вычисления.
4. Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений.
Задачей параметрического квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений будем называть следующую задачу выпуклого программирования:
 | (4.1.1) |
Требуется найти вектор-функцию x*(m) , минимизирующую целевую функцию при каждом m . Интервал изменения параметра может быть и неограниченным.
4.2 Некоторые свойства решения параметрической задачи квадратичного программирования.
Пусть получено решение задачи (4.1.1) при некотором значении параметра, равном m0 . Это означает, что получен векторx*(m0) , а также набор индексов Á(m0) , и порожденный им оптимальный базис. Рассмотрим множество таких m , для которых это решение остается оптимальным и допустимым. Для этого запишем условия Куна-Таккера:
 | (4.1.2) |
Как следует из постановки задачи, правую часть выражения (4.1.2) можно представить в следующем виде:
 | (4.1.3) |
Разложив вектор R по указанному базису, и подставив это разложение в (4.1.3), получим следующие выражения для коэффициентов разложения (4.1.2):
 | (4.1.4) |
Здесь
- коэффициенты разложения вектора R по базису. Условием нарушения оптимальности решения является факт обращения в ноль одного из неотрицательных коэффициентов (4.1.4). Отсюда следует, что интервал, на котором исходное решение является оптимальным, является отрезком следующего вида:  | (4.1.5) |
где
 | (4.1.6) |
а