Смекни!
smekni.com

Информационная система университета (стр. 12 из 16)

. (29)

В данной модели наблюдаемым событием является число ошибок, обнаруживаемых в заданном временном интервале, а не время ожидания каждой ошибки, как это было для модели Желинского-Моранды. В связи с этим модель относят к группе дискретных динамических моделей, а уравнения для опреде­ления С и N имеют несколько иной вид:

, (30)

где

, (31)

. (32)

ti — продолжительность временного интервала, в котором наблюдается Мi ошибок;

Тi-1 — время, накопленное за (i—1) интервалов:

, T0=0 . (33)

ni-1 — суммарное число ошибок, обнаруженных за период от первого до (i -1)-го интервала времени включительно:

, n0=0 . (34)

М — общее число временных интервалов;

— суммарное число обнаруженных ошибок. (35)

При М = 1 уравнения (30) приобретают вид уравнений (21).

Таким образом, модель Джелинского-Моранды является частным случаем модели Шика-Волвертона для случая, когда при тестировании фиксируется время до появления очередной ошибки.

Модель Муса. Модель Муса относят к динамическим моде­лям непрерывного времени. Это значит, что в процессе тестиро­вания фиксируется время выполнения программы (тестового прогона) до очередного отказа. Но считается, что не всякая ошибка ПС может вызвать отказ, поэтому допускается обнару­жение более одной ошибки при выполнении программы до воз­никновения очередного отказа.

Считается, что на протяжении всего жизненного цикла ПС может произойти М0 отказов и при этом будут выявлены все N0 ошибки, которые присутствовали в ПС до начала тестирования.

Общее число отказов Мо связано с первоначальным числом ошибок N0 соотношением

N0 = ВМ0, (36)

где В — коэффициент уменьшения числя ошибок.

В момент, когда производится оценка надежности, после проведения тестирования, на которое потрачено определенное время t, зафиксировано m отказов и выявлено п ошибок.

Тогда из соотношения:

п=Вт (15) , (37)

можно определить коэффициент уменьшения числа ошибок В как число, характеризующее количество устраненных ошибок, приходящихся на один отказ.

В модели Муса различают два вида времени:

1) суммарное время функционирования t, которое учитывает чистое время тестирования до контрольного момента, когда производится оценка надежности;

2) оперативное время t- время выполнения программы, пла­нируемое от контрольного момента и далее, при условии, что дальнейшего устранения ошибок не будет (время безотказной работы в процессе эксплуатации).

Для суммарного времени функционирования t предполага­ется:

- интенсивность отказов пропорциональна числу не устраненных ошибок;

- скорость изменения числа устраненных ошибок, измеряемая относительно суммарного времени функционирования,. пропорциональна интенсивности отказов.

Один из основных показателей надежности, который рассчи­тывается по модели Муса, - средняя наработка на отказ. Этот показатель определяется как математическое ожидание временного интервала между последовательными отказами и связан с надежностью:

, (38)

где t — время работы до отказа.

Если интенсивность отказов постоянна (т.е. когда длитель­ность интервалов между последовательными отказами имеет экспоненциальное распределение), то средняя наработка на отказ обратно пропорциональна интенсивности отказов. По модели Муса средняя наработка на отказ зависит от суммарного времени функционирования t:

, (39)

где T0 — средняя наработка на отказ в начале испытаний (тестирования);

С - коэффициент сжатия тестов, который вводится для устранения избыточ­ности при тестировании. Если, например, один час тестирования соответствует 12 ч работы в реальных условиях, то коэффициент сжатия тестов равен 12.

Параметр То - средняя наработка на отказ до начала тести­рования, можно предсказать из следующего соотношения:

, (40)

где f — средняя скорость исполнения программы, отнесенная к числу команд (операторов);

К — коэффициент проявления ошибок, связывающий частоту возникновения ошибок со "скоростью ошибок", которая представляет собой скорость, с которой бы встречались ошибки программы, если бы программа выполнялась линейно (последовательно по командам). В настоящее время значение К приходится определять эмпирическим путем по однотипным программам. Его значение изменяется от 1.54*10-7 до 3.99*10-7;

N0 — начальное число ошибок — можно рассчитать с помощью другой модели, позволяющей определить эту величину на основе статистических данных, полу­ченных при тестировании (например, модель Шумана). Надежность R для опера­тивного периода t выражается равенством:

. (41)

Если в договоре с заказчиком оговорена требуемая величина наработки на отказ ТF, то можно определить число отказов Dm и дополнительное время функционирования (тестирования) D t, обеспечивающее заданное ТF. Их можно рассчитать по фор­мулам:

, (42)

. (43)

По результатам тестовых испытаний можно определить значение коэффициента В из соотношения (37) и М0 - из соот­ношения (34). По договорной величине требуемой средней наработки на отказ ТF и рассчитанной по модели Муса текущей средней наработки на отказ Т можно сделать заключение о необходимости продолжать или, возможно, закончить тестиро­вание программ. В случае необходимости продолжения работ по тестированию для достижения требуемой средней наработки на отказ модель дает возможность предсказать число возможных отказов Dm (формула (42)) и дополнительное время тестирова­ния D t (формула (43)).

Модель переходных вероятностей. Эта модель основана на марковском процессе, протекающем в дискретной системе с непрерывным временем.

Процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процессом без последствий), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящее время t0 и не зависит от того, каким образом система пришла в это состо­яние. Процесс тестирования ПС рассматривается как марков­ский процесс.

В начальный момент тестирования (t=0) в ПС было n ошибок. Предполагается, что в процессе тестирования выявляется по одной ошибке. Тогда последовательность состояний системы (n, n-1, n-2, n-3} и т.д. соответствует периодам времени, когда предыдущая ошибка уже исправлена, а новая еще не обнару­жена. Например, в состоянии n-5 пятая ошибка уже исправ­лена, а шестая еще не обнаружена.

Последовательность состояний {т, т-1, т-2, т-3 и т.д.} соответствует периодам времени, когда ошибки исправляются. Например, в состоянии т-1 вторая ошибка уже обнаружена, но еще не исправлена. Ошибки обнаруживаются с интенсивностью l, а исправляются с интенсивностью m.

Предположим, в какой-то момент времени процесс тестиро­вания остановился. Совокупность возможных состояний сис­темы будет: 5={ n, т, n-1, n-1, n-2, m-2, . . . }.

Система может переходить из одного состояния в другое с определенной вероятностью Pij. Время перехода системы из одного состояния в другое бесконечно мало.

Вероятность перехода из состояния n-k в состояние m-k есть ln-kDt ( для k = 0, 1, 2, ... . Соответственно вероятность пере­хода из состояния m-k в состояние n-k-1 будет mm-kDt для k=0,1,2,....

Общая схема модели представлена на рисунке 34. Если считать, что l1 и m1 зависят от текущего состояния системы, то можно составить матрицу переходных вероятностей представленной в таблице 12.

Общая схема модели

Рис. 34

Таблица 12 - Модель многих состояний ПС

1-lnDt lnDt 0 0 0 … 0 …
0 1-mmDt mmDt 0 0 … 0 …
0 0 1-ln-1Dt ln-1Dt
0 0 0 1-mm-1Dt
……………… ……………… ……………… ……………… ……………. 1-ln-kDt ln-kDt
0 1-mm-kDt

Пусть S'(t) - случайная переменная, которой обозначено состояние системы в момент времени t.

В любой момент времени система может находиться в двух возможных состояниях: работоспособном либо неработоспособ­ном (момент исправления очередной ошибки).

Вероятности нахождения системы в том или ином состоянии определяются как:

Pn-k(t) = P(S’(t)=n-k), k=1,2,3,… (44)

Pm-k(t) = P(S’(t)=m-k), k=1,2,3,… (45)