В заключение данной книги скажем несколько слов о вопросах, относящихся к области мировоззрения и являющихся по отношению к аналитической теории алгоритмов предварительными. Эти вопросы уже были очень коротко затронуты в § 5 гл. 3 и в § 3 гл. 5. Там упоминалось, что теория алгоритмов является основой конструктивного направления в обосновании математики. Сразу отметим, что конструктивные идеи в математике не сводятся к теории алгоритмов, которая лишь наиболее последовательна в этом отношении. Ограничимся только теорией алгоритмов.. В теории алгоритмов основой для получения всевозможных конструктивных объектов являются некоторые первоначальные объекты. Математического обоснования их конструктивности нет. С таким же правом их можно считать и неконструктивными. Доматематическое их обоснование заключается в том, что их практическое существование или (если это операции) практическая возможность их выполнения ни у кого не вызывают сомнения. В логических теориях алгоритмов первоначальными являются буквы, слова и некоторые операции (например, в теории нормальных алгоритмов — марковские подстановки); первоначальной является также способность преобразовывать любую символьную конструкцию в слово. Вопрос о том, откуда берутся слова-операнды ни явно, ни неявно не затрагивается. В аналитической теории алгоритмов первоначальными являются буквы, связи, и натуральные операции. Символьные конструкции из букв и связей получаются уже средствами теории (поэтому в состав теории алгоритмов входит раздел о формальных языках). Понятие актуальной бесконечности ни явно, ни неявно не привлекается. Разночтения символьных конструкций тоже нет. Доматематическим их обоснованием является признание существования реального мира, абстрактными образами объектов и процессов которого являются символьные конструкции и алгоритмы. Применяемые языки поэтому наделены смыслом. Способность преобразовывать любую символьную конструкцию в слово не считается первоначальной и обеспечивается возможностью ограниченного применения произвольного выбора из конечного числа элементов (в процессе произвольной нумерации с последующим получением результатов всех возможных нумераций и выбора из них одного, лексикографически не старше всех других).
Конечно, не запрещается математику изучать аналитическую теорию алгоритмов без того, чтобы задумываться о реальном мире, хотя это и нельзя одобрить. Точно так же не запрещается, изучая логическую теорию алгоритмов, считать, что слова являются описаниями реальных объектов. Но логическая теория алгоритмов даже не намекает на какой-нибудь способ описания объектов в виде слов, тогда как аналитическая теория такие намеки делает. Например, для описания объектов напрашивается применение приема, называемого структуризацией, который предусматривает расчленение объекта на составные части — более простые объекты, к которым опять применяется тот же прием, и так до тех пор, пока не будет получена конструкция, построенная с помощью связей из таких простых объектов, какие мы уже умеем представлять в виде символьных конструкций. Точно так же сложные операции конструируются из натуральных путем построения алгоритмов.
[1]Детское питание.— М.: Госторгиздат, 1963, с. 107.
[2]Заводчиков П. А. и др. Справочная книга по собаководству.— М.: Сельхозиздат, 1960, с. 152.
[3]Кулинария,— М.: Госторгиздат, 1955, с. 626.
[4]Мерло А. С. Советы цветоводам.— Минск, 1965, с. 20.
[5]Машковский М. Д. Лекарственные средства, т. 1,— М.: Медицина, 1972, с. 200.
[6]Например, алгоритмы, имеющие один-единственный вариант исходных данных.
[7]При теоретических исследованиях приходилось бы каждый Газ, встречаясь с алгоритмом, убеждаться, что свойство массовости налицо.
[8]Д а л ь В. И. Толковый словарь живого великорусского языка.— М., 1955.