Алгоритмы на графах. Кратчайшие расстояния на графах (стр. 1 из 3)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПУ

Алгоритмы на графах. Поиск в глубину

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-43 Полякова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Зверева Т.Е.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1 Поиск в глубину

2 Задача "Дороги"

3 Задача "Перекрестки"

4 Задача "Скрудж Мак-Дак"

Заключение

Литература

Введение

Прежде всего, несколько слов о том, как возникает понятие графа из естественных условий задач. Приведем несколько примеров.

Пусть мы имеем карту дорог, в которой для каждого города указано расстояние до всех соседних с ним. Здесь два города называются соседними, если существует дорога, соединяющая непосредственно эти два города.

Аналогично, можно рассмотреть улицы и перекрестки внутри одного города. Заметим, что могут быть улицы с односторонним движением.

Сеть компьютеров, соединенных проводными линиями связи.

Набор слов, каждое из которых начинается на определенную букву и заканчивается на эту же или другую букву.

Множество костей домино. Каждая кость имеет 2 числа: левую и правую половину кости.

Устройство, состоящее из микросхем, соединенных друг с другом наборами проводников.

Генеалогические деревья, указывающие родственные отношения между людьми.

И, наконец, собственно графы, указывающие отношения между какими либо абстрактными понятиями, например, числами.

Итак, неформально, граф можно определить как набор вершин (города, перекрестки, компьютеры, буквы, цифры кости домино, микросхемы, люди) и связей между ними: дороги между городами; улицы между перекрестками; проводные линии связи между компьютерами; слова, начинающиеся на одну букву и закачивающиеся на другую или эту же букву; проводники, соединяющие микросхемы; родственные отношения, например, Алексей - сын Петра. Двунаправленные связи, например, дороги с двусторонним движением, принято называть ребрами графа; а однонаправленные связи, например, дороги с односторонним движением, принято называть дугами графа. Граф, в котором вершины соединяются ребрами, принято называть неориентированным графом, а граф, в котором хотя бы некоторые вершины соединяются дугами, принято называть ориентированным графом.

1. Поиск в глубину

Ниже приведен пример неориентированного графа с шестью вершинами.

При компьютерной обработке граф может задаваться списком ребер (дуг) для каждой вершины. Например, для графа, приведенного на примере, этот список выглядит так

Для хранения этой информации в памяти компьютера можно воспользоваться двумерным массивом G[1..N,1..M], где N - число вершин в графе, M - максимально возможное число ребер (дуг) у одной вершины графа. Для удобства обработки этой информации можно также иметь одномерный массив kG[1..N] - количества ребер (дуг) вершин графа.

Тогда для обработки списка связей текущей вершины U можно написать

for i:=1 to kG[U]

begin

V:=G[U,i];

end;

Тем самым, мы получаем обработку дуги, связывающей вершины U и V для всех вершин, непосредственно связанных с U.

Для обработки ВСЕХ связей всех вершин можно использовать поиск в глубину (DFS - Depth-First Search):

for U:=1 to N do Color[U]:=WHITE;

for U:=1 to N do

if color[U]=WHITE then DFS(U);

Procedure DFS(U:longint);

var

j : longint;

begin

color[U]:=GRAY;

for j:=1 to kG[U] do DFS(G[U,j]);

end;

Здесь

Color[U] = цвет вершины

WHITE (константа=1) - белый, если мы еще не посещали эту вершину

GRAY (константа=2) - серый, если мы посещали данную вершину

DFS(U) - рекурсивная процедура, которая вызывает себя для всех вершин, потомков данной вершины.

То есть, для обеспечения поиска в глубину на заданном графе G[1..N,1..M] с количествами дуг из вершин G[1..N], вначале мы устанавливаем всем вершинам цвет WHITE, а затем для всех вершин, которые еще не посещались (Color[G[U,j]]=WHITE) вызываем рекурсивную процедуру DFS.

Таким способом формируются все возможные маршруты в графе. При этом нет ограничений на количество раз использования дуг и заходов в вершины.

Если же по условиям задачи потребуется посещать каждую вершину не более одного раза, чтобы формировать маршруты из несовпадающих вершин, то это может быть обеспечено в процедуре DFS условным вызовом:

Procedure DFS(U:longint);

var

j : longint;

begin

color[U]:=GRAY;

for j:=1 to kG[U] do

if color[G[U,j]]=WHITE then DFS(G[U,j]);

end;

Если по условиям задачи требуется каждую дугу использовать не более одного раза, то можно ввести расцветку дуг:

Color[1..N,1..M] - со значениями FREE или DONE где, как и ранее

N - число вершин в графе,

M - максимально возможное число ребер (дуг) у одной вершины графа.

А процедура DFS формирования маршрутов так, что бы каждая дуга использовалась в маршруте не более одного раза, будет выглядеть следующим образом:

procedure DFS(v:byte);

var j : byte;

begin

for j:=1 to kG[v] do

if (color[v,j]=FREE)

then

begin

color[v,j]:=DONE;

DFS(G[v,j]);

color[v,j]:=FREE;

end;

end;

Здесь вводятся пометки на дуги

Color[v,j] = FREE,

если дуга еще не обработана, и DONE, если она включена в текущий путь.

Если в задаче требуется вывести найденный путь, то для его хранения заводится специальный массив SLED [1..Q], где Q - максимальное количество ребер в пути и вершины текущего пути заносятся в этот массив и удаляются из него в процессе обхода графа:

procedure DFS(v:byte);

var j : byte;

begin

for j:=1 to kG[v] do

begin

inc(ks); sled[ks]:=G[v,j];

DFS(G[v,j]);

dec(ks);

end;

end;

Приведенная теоретическая информация иллюстрируется далее примерами решения конкретных задач.

2 Задача "Дороги"

Республиканская олимпиада по информатике 1997г

Дана система односторонних дорог, определяемая набором пар городов. Каждая такая пара (i,j) указывает, что из города i можно проехать в город j, но это не значит, что можно проехать в обратном направлении.

Необходимо определить, можно ли проехать из заданного города А в заданный город В таким образом, чтобы посетить город С и не проезжать ни по какой дороге более одного раза.

Входные данные задаются в файле с именем PATH.IN следующим образом. В первой строке находится натуральное N(N<=50) - количество городов (города нумеруются от 1 до N). Во второй строке находится натуральное M(M<=100) - количество дорог. Далее в каждой строке находится пара номеров городов, которые связывает дорога. В последней (M+3)-й строке находятся номера городов А, В и С.

Ответом является последовательность городов, начинающаяся городом А и заканчивающаяся городом В, удовлетворяющая условиям задачи, который должен быть записан в файл PATH.OUT в виде последовательности номеров городов по одному номеру в строке. Первая строка файла должна содержать количество городов в последовательности. При отсутствии пути записать в первую строку файла число -1.

Кратко идея решения может быть изложена следующим образом:

Поиск в глубину.

Если встречаем вершину B, устанавливаем соответствующий флаг.

Если встречаем вершину C и флаг B установлен - выводим результат и завершаем работу.

После завершения поиска (требуемый маршрут не найден) выводим -1.

Изложим решение более подробно.

Ввод исходных данных осуществляется следующим образом:

read(N,M);

for i:=1 to M do

begin

read(x,y); inc(kG[x]); G[x,kG[x]]:=y; color[x,kG[x]]:=FREE;

end;

read(A,B,C);

Здесь, как и прежде,

kG[i] - количество дуг из вершины i

G[i,j] - (для j от 1 до kG[j]) - вершины, с которыми вершина i связана соответствующей дугой

Кроме того, введен цвет дуги FREE - свободна (DONE - занята, FREE/DONE - константы)

Главная программа фактически включает только следующие операторы:

LabC:=0; { Установить метку - вершину C еще не посещали}

DFS(A); { Поиск в глубину от вершины A }

writeln(-1); { Вывод признака отсутствия требуемого пути}

Рекурсивная процедура поиска в глубину от вершины V выглядит следующим образом:

procedure DFS(v:byte);

var j : byte;

begin

for j:=1 to kG[v] do

if (color[v,j]=FREE)

then

begin

if (G[v,j]=B) and (LabC=1)

then begin OutRes; halt; end;

if G[v,j]=C then LabC:=1;

color[v,j]:=DONE; inc(ks); sled[ks]:=G[v,j];

DFS(G[v,j]);

color[v,j]:=FREE; sled[ks]:=0; dec(ks);

if G[v,j]=C then LabC:=0;

end;

end;

То есть для всех еще необработанных (color[v,j]=FREE) дуг от текущей вершины выясняем - если она ведет в конечный пункт, а город C уже проходили - вызов процедуры вывода результата и останов.

Если текущая дуга ведет в город С, устанавливаем соответствующую метку (LabC=1).

Помечаем дугу как обработанную, заносим ее в массив SLED, который содержит текущий обрабатываемый путь, KS - количество элементов в нем.

Вызываем процедуру DFS от вершины (G[v,j]), в которую ведет текущая дуга.

Перед выходом из процедуры DFS восстанавливаем состояние, "исходное" перед ее вызовом: снимаем отметку обработки с дуги ( color[v,j]:=FREE), удаляем ее из массива SLED (dec(ks), оператор sled[ks]:=0; делать необязательно, но он предоставляет удобства отладки - что бы в масcиве SLED ненулевыми были только реально входящие в путь элементы).

И, наконец, процедура вывода результата:

procedure OutRes;

begin

writeln(ks+2);

writeln(A); for i:=1 to ks do writeln(sled[i]); writeln(B);

end;

Поскольку по алгоритму построения начальный (A) и конечный (B) города не заносились в массив SLED, то они выводятся отдельно, а количество городов в пути (KS) перед выводом увеличивается на 2.

Полный текст программы приводится ниже.

program by97d2s3;

const

FREE=1;

DONE=2;

var

G,color : array[1..50,1..100] of byte;

D : array[1..50] of longint;

kG,sled : array[1..50] of byte;

path : array[1..100] of byte;

MinD,is : longint;

i,j,x,y,A,B,C,N,M,ks,LabC : byte;

Yes : boolean;

procedure OutRes;

begin

writeln(ks+2);

writeln(A); for i:=1 to ks do writeln(sled[i]); writeln(B);

end;

procedure DFS(v:byte);

var j : byte;

begin

for j:=1 to kG[v] do