Алгоритмы параллельных процессов при исследовании устойчивости подкрепленных пологих оболочек (стр. 1 из 10)

Работа выполнена в соответствии с грантом Минобнауки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г. г)", тема №2.1 2/6146. Разрабатывается программный комплекс расчетов прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения с учетом различных свойств материала. Используются наиболее точные модели деформирования оболочек. Усложнение расчетных уравнений приводит к существенному увеличению времени расчета одного варианта задачи на ЭВМ при последовательных вычислениях. Чем тоньше оболочка, тем больше изменяемость формы поверхности оболочки при деформировании. Это приводит к увеличению числа членов разложения искомых функций в ряды в методе Ритца, чтобы точность расчетов была высока. Так, при удержании 9 членов в разложении искомых функций (N = 9) время расчета одного варианта, в зависимости от кривизны оболочки и числа подкрепляющих ее ребер, составляет 1-3 часа, при N = 64 - несколько суток. Для существенного сокращения времени расчета одного варианта задачи на ЭВМ требуется оптимизация программы. Один из путей решения данной проблемы состоит в распараллеливании процессов вычисления.

Расширение возможностей в конструировании вычислительной техники всегда оказывало влияние на развитие вычислительной математики - в первую очередь численных методов и численного программного обеспечения. В условиях появления больших параллельных систем и создания сверхмощных новых систем перед математиками, и в особенности математиками-прикладниками, открывается обширнейшая область исследований, связанная с совместным изучением параллельных структур численных методов и вычислительных систем. [5]

Глава 1. Математические модели деформирования подкрепленных пологих оболочек при учете различных свойств материала

Оболочки покрытия и перекрытия строительных сооружений не могут допускать прогибы, соизмеримые с их толщиной, поэтому можно вести их расчет в геометрически линейной постановке, при этом существенно упрощаются все соотношения. В этом случае функционал полной энергии деформации ребристой оболочки при действии на нее поперечной нагрузки

будет иметь вид

(1)

где

, если учитывается физическая нелинейность,

, если учитывается ползучесть материала.

Для металлов ползучесть может развиваться только при больших температурах, поэтому будем считать

. Для оргстекла зависимость "

" практически линейная, поэтому можно принять

Здесь

(2)

(3)

(4)

или, если принимается итерационный процесс по временной координате,

(5)

где

(6)

Срединная поверхность пологой оболочки прямоугольного плана постоянной толщины образована перемещением пологой дуги окружности радиуса

вдоль пологой дуги окружности радиуса

Поверхность такого вида называют поверхностью переноса. Оболочка называется пологой, если отношение стрелы подъема

оболочки к наименьшему линейному размеру

удовлетворяет соотношению

(рис.1). Так как стрела подъема пологой оболочки мала

, то геометрия пологой оболочки близка к геометрии пластины, поэтому параметры Ляме приближенно принимаются равными единице:

Рис.1. Пологая оболочка двоякой кривизны

Для пологих оболочек считается, что при деформации образуются сравнительно мелкие вмятины, размеры которых малы по сравнению с радиусами кривизны оболочки, и также считается, что функция прогиба является быстро изменяющейся функцией, т.е. отношение W к ее первой производной является малой величиной.

Геометрические соотношения для пологих оболочек при учете поперечных сдвигов принимают вид

(7)

Кроме того,

имеют вид (2.7),

Функции изменения кривизн

и кручения

принимают вид

(8)

Выражения для

здесь принимают вид

(9)

Глава 2. Традиционные алгоритмы решения задач устойчивости для подкрепленных пологих оболочек

После применения метода Ритца к функционалу (1) при аппроксимации функций перемещений в виде

, (10)

получим систему интегро-алгебраических уравнений

(11)