Иерархическое управление большими системами (стр. 5 из 5)

Optimization via the interaction prediction method.

Initial time (to): 0

Final time (tf): 2

Step size (Dt): .1

Total no. of 2nd level iterations = 6

Error tolerance for multi-level iterations - .00001

Order of overall large scale system = 4

Order of overall control vector (r) = 2

Number of subsystems in large scale system = 2

Matrix Subsystem state orders-n sub i 0.200D+01 0.200D+01

Matrix Subsystem input orders-r sub i 0.100D+01 0.100D+01

Polynomial approximation for the Ricatti matrices to be used.

Matrix Ricatti coefficients for SS# 1

0.453D+01	-.259D+01	0.794D+01	-762D+01	O.186D+01
0.978D-01	-.793D-01	0.252D+00	.233D+00	0.571D-01
0.490D+00	0.759D-02	-.109D+00	0.975D-01	-.531D-01

Matrix Ricatti coefficients for SS# 2

0.112D+01	-.815D+01	0.361D+01	0.455D+01	0.105D+01
-0.149D+00	-.322D-01	0.697D-01	.284D-01	0.183D-01
0.815D+00	0.642D-01	-.295D+00	0.305D+00	-.138D+00

System Matrix A

0.200D+01	0.100D+00	0.100D-01	0.000D+00
0.200D+00	0.100D+01	0.100D+00	0.500D+00
0.500D-01	0.150D+00	0.100D+01	0.500D-01
0.000D+00	-0.200D+00	0.250D+00	-0.120D+01

Matrix Input Matrix B

0.100D+01	O.OOOD+00
0.100D+00	O.OOOD+00
O.OOOD+00	O.250D+O0

Matrix Input Cost Function R

0.100D+01	O.OOOD+OO
0.000D+O0	0.200D+01

Matrix Lagrange Multiplier Initial Values

0.100D+01

O.IOOD+Ol

0.100D+01

0.100D+01

Matrix Initial conditions vector xO

-.100D+01

0.100D+00

0.100D+01

-.500D+00

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 1

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 1

At second level iteration no. 1 interaction error = 0.347D+00

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 2

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 2

At second level iteration no. 2 interaction error = 0.771D - 03

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 3

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 3

At second level iteration no. 3 interaction error = 0.507D - 03

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 4

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 4

At second level iteration no. 4 interaction error = 0.323D - 04

Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 5

Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 5

At second level iteration no. 5 interaction error = 0.310D - 05

Оптимальные отклики показаны на рисунке 4.14, а схождение на рисунке 4.15.

Другие применения метода прогнозирования взаимодействия представлены в разделе задач.

4.3.3 Согласование цели и однородность

Когда в (4.3.15) – (4.3.17) обсуждался метод согласования цели, было замечено, что положительно определенные матрицы Siбыли введены в функцию оценки (4.3.17) для того, чтобы избежать однородности. Чтобы убедится в этом, обратимся к задаче минимизации Li в (4.1.24) для объекта (4.3.15). Пусть i-й Гамильтониан подсистемы имеет вид:

(4.3.62)

Одно из необходимых уравнений для решения задачи i-й подсистемы на первом уровне

(4.3.63)

или

(4.3.64)

где однородное решение появляется, если

не появляется в функции оценки. Чтобы избежать однородности на первом уровне возможны два альтернативных подхода. Следующий пример иллюстрирует два подхода.

Пример 4.3.5. Рассмотри следующую систему:

(4.3.65)

Необходимо найти (u1,u2), такие, чтобы они удовлетворяли (4.3.65), а квадратичная функция оценки

(4.3.66)

минимизировалась методом согласования цели.

Решение: Из (4.3.65) –(4.3.66) ясно, что систему можно разделить на две подсистемы первого порядка.

(4.3.67)

(4.3.68)

с ограничением взаимодействия

(4.3.69)

Задача в настоящий момент имеет следующий Гамильтониан:

(4.3.70)

в котором переменная взаимодействия появляется линейно. Применение метода согласования цели для данной формулировки приведет к однородности, так как z1 появляется линейно в (4.3.70). Следующая системная переформулировка задач поможет избежать однородности.

Часть а – подсистема 1, переменные состояния

Часть б – подсистема 1, переменные управления

Часть в – подсистема 2, переменные состояния

Часть г – подсистема 2, переменные управления

4.3.3.а. Переформулировка 1.

Bauman (1968) предложил переписать ограничения взаимодействия квадратичной формы

(4.3.71)

которая даст следующее необходимое условие для оптимизации на первом уровне:

(4.3.72)

для первой подсистемы и

(4.3.73)

для второй подсистемы. После введения формулы Риккати (4.3.72) и (4.3.73) мы получим:

и

где ki(t) – i-я скалярная нестационарная матрица Риккати для подсистемы. Согласование на втором уровне достигается через следующие итерации:

Эта переформулировка помогает избежать однородности, но делает схождение итераций второго уровня очень медленным.

4.3.3.б. Переформулировка 2.

Singh (1980) предложил альтернативную формулировку, которая не только позволит избежать однородности, но и даст хорошее схождение процедура основывается на том, чтобы найти х через вектор взаимодействия z и подставить его в функцию оценки, т.е. z можно представить как:

где G – считается неоднородной и переформулированный Гамильтониан представлен в виде:

В этом примере матрица G – однородна, но решение можно получить. Гамильтониан имеет вид:

А задача подсистемы первого уровня имеет вид

и

вторую подсистему можно решить сразу же, так как уравнение p2 – косостояние отделено от х2 и может быть решено в обратном порядке и подставлено в уравнение х2, что приведет к тому, что решение уравнения Риккати в данном примере не требуется. Но для первой подсистемы, исходя из формулировки задач первого уровня в прогнозировании взаимодействия (4.3.40) – (4.3.51), необходимо как уравнение Риккати, так и открытое сопряженное (компенсирующее) векторное уравнение. Для этого примера задача первой подсистемы имеет вид

где два дифференциальных уравнения для ki(t) и gi(t) нужно решить в обратном порядке. В то время как для второй подсистемы не нужно решать вспомогательное уравнение, надо решить два таких уравнения для первой подсистемы. В общем эта переформулировка требует решения

(4.3.74)

что означает, что уравнения вектора косостояния p отделено от х и может быть решено в обратном порядке (без решения уравнения Риккати) и подставлено в верхнее уравнение для нахождения х. Так как матрицы A, B, Q и R – блок-диагональные, задачу (4.3.74) можно разделить на N задач подсистем с условием, что

отделяемо от z, где V=G-1.