Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона (стр. 2 из 4)
где
, 
, 
- степень многочлена.Максимальное значение
равно . Тогда 
и разделенная разность n-го порядка на участке 
равна 
,т.е. равна разности разделенных разностей
-го порядка, разделенной на длину участка .Разделенные разности
являются вполне определенными числами, поэтому выражение (1) действительно является алгебраическим многочленом
-й степени. При этом в многочлене (1) все разделенные разности определены для участков 
, .При вычислении разделенных разностей принято записывать их в виде таблицы
 |  | ||||
 | |||||
 |  |  | |||
 | • | ||||
 |  | • | • | • |  |
| ■ | • | • | • | ||
| • | • | • |  | ||
| • | • |  | |||
 |  |
Разделенная разность
-го порядка следующим образом выражается через значения функции 
в узлах: 
. (1)Эту формулу можно доказать методом индукции. Нам потребуется частный случай формулы (1):
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
Рассмотренная форма полинома Ньютона носит название первой интерполяционной формулы Ньютона, и используется, обычно, при интерполировании вначале таблицы.
Заметим, что решение задачи интерполяции по Ньютону имеет некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции по Лагранжу. Каждое слагаемое интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от всех значений табличной функции yi, i=0,1,…n. Поэтому при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1) интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене Ньютона при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона (2). Это удобно на практике и ускоряет процесс вычислений.
Программирование функции формулы Ньютона
Для построения многочлена Ньютона по формуле (1) организуем циклический вычислительный процесс по
. При этом на каждом шаге поиска находим разделенные разности k-го порядка. Будем помещать разделенные разности на каждом шаге в массив Y.Тогда рекуррентная формула (3) будет иметь вид:
(4) В формуле Ньютона (2) используются разделенные разности
-го порядка, подсчитанные только для участков т.е. разделенные разности -го порядка для . Обозначим эти разделенные разности k-го порядка как 
. А разделенные разности, подсчитанные для 
, используются для расчетов разделенных разностей более высоких порядков.Используя (4), свернем формулу (2). В результате получим
(5)где
– значение табличной функции (1) для 
. 
– разделенная разность -го порядка для участка . 
.Для вычисления Р удобно использовать рекуррентную формулу
внутри цикла по .Схема алгоритма интерполяции по Ньютону представлена на рисунке:
Function POlinom(n: integer; d:real; x,y :per):real;
var
l:real;
k,i:integer;
p: real;
begin
L:=y[0];
P:=1;
for k:=1 to n do begin
P:=P*(D-X[k-1]);
for i:=0 to (n-k) do begin
Y[i]:=(y[i+1]-y[i])/(x[i+k]-x[i]);
end;
L:=L+P*y[0];
end;
Polinom:=l;
end;
где
n – количество узлов
x[i],y[i] – табличные значения функции
D – точка, в которой необходимо вычислить значение l
Обзор литературных источников
1. Численные методы
Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду, например» извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа; классический пример—открытие Нептуна по аномалиям движения Урана.
В современной физике таких задач много- Более того, часто требуется выполнить огромное число действий за короткое время, иначе ответ будет не нужен. Например, суточный прогноз погоды должен быть вычислен за несколько часов; коррекцию траектории ракеты надо рассчитать за несколько минут (напомним, что для расчета орбиты Нептуна Леверье потребовалось полгода); режим работы прокатного стана должен исправляться за секунды. Это немыслимо без мощных ЭВМ, выполняющих тысячи или даже миллионы операций в секунду.
Современные численные методы и мощные ЭВМ дали возможность решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Но применять численные методы далеко не просто. Цифровые ЭВМ умеют выполнять только арифметические действия и логические операции. Поэтому помимо разработки математической модели, требуется еще разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности арифметических и логических действий. Выбирать модель и алгоритм надо с учетом скорости и объема памяти ЭВМ: чересчур сложная модель может оказаться машине не под силу, а слишком простая — не даст физической точности.
Сам алгоритм и программа для ЭВМ должны быть тщательно проверены. Даже проверка программы нелегка, о чем свидетельствует популярное утверждение: «В любой сколь угодно малой программе есть, по меньшей мере, одна ошибка». Проверка алгоритма еще более трудна, ибо для сложных алгоритмов не часто удается доказать сходимость классическими методами. Приходится использовать более или менее надежные «экспериментальные» проверки, проводя пробные расчеты на ЭВМ и анализируя их.
Строгое математическое обоснование алгоритма редко бывает исчерпывающим исследованием. Например, большинство доказательств сходимости итерационных процессов справедливо только при точном выполнении всех вычислений; практически же число сохраняемых десятичных знаков редко происходит 5 — 6 при «ручных» вычислениях и 10—12 при вычислениях на ЭВМ. Плохо поддаются теоретическому исследованию «маленькие хитрости» — незначительные на первый взгляд детали алгоритма, сильно влияющие на его эффективность. Поэтому окончательную оценку метода можно дать только после опробования его в практических расчетах.