Исследование магнитных систем в программной системе конечно-элементного анализа ANSYS (стр. 2 из 7)
где лапласиан (оператор Лапласа)
. Этот оператор может быть применен к скалярным и векторным функциям. В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет вид
[2]где φ (x, y, z) – скалярная функция.
В цилиндрической системе координат оно выглядит следующим образом:
[3]где φ(R, α, z).
К уравнениям эллиптического типа относится уравнение Пуассона, которое для линейных изотропных (μх = μy = μz = μ = const) сред имеет вид:
[5]Где
- векторный магнитный потенциал , 
- вектор плотности тока, 
-абсолютная магнитная проницаемость среды моделирования.
Если речь идет о нелинейных средах моделирования, т.е. μ ≠ const, то из уравнений Максвелла получим
[6]или
[7]Вектор-потенциал
есть величина векторная и в декартовой системе координат 
,вектор плотности тока
.Тогда уравнение Пуассона разбивается на три уравнения относительно скалярных величины Аx, Аy, Аz.
Если в модели ЭУ принять, что ток, а следовательно, и векторный магнитный потенциал имеют только z-составляющую, то получим плоскопараллельную или осесимметричную задачу. Для плоскопараллельного магнитного поля в декартовой системе координат можно записать уравнение Пуассона
[8]Решив данное уравнение и зная распределение векторного магнитного потенциала по области моделирования, можно найти распределение составляющих вектора магнитной индукции и результирующего значения (модуля) вектора магнитной индукции по выражениям
[9]Для того чтобы уравнения Лапласа-Пуассона имели единственное решение, они дополняются граничными (краевыми) условиями. На замкнутой границе Г модели ЭУ могут быть заданы следующие краевые условия.
1. Граничные условия первого рода (Дирихле) – на границе Г задается значение искомой функции, т.е. φ = f1 (x, y, z), где точки с декартовыми координатами (x, y, z) принадлежат границе Г. Условие φ = 0 является однородным.
2. Граничные условия второго рода (Неймана). Для них задается изменение искомой функции по нормали n к границе Г, т.е dφ /dn= f2 (x, y, z), где точки с координатами (x, y, z)
принадлежат границе Г. Условие dφ/dn = 0 является однородным.
3. Граничные условия третьего рода dφ /dn + f3 (φ) = f4 (x, y, z), где точки с координатами (x, y, z) принадлежат границе Г.
На границе модели могут быть заданы смешанные краевые условия, т.е. сочетание вышеприведенных – первого, второго и третьего рода.
1.2 Основные положения метода конечных элементов для решения электромагнитных задач
В настоящее время электромагнитные задачи для электротехнических устройств со сложной геометрией как внешних, так и внутренних границ, наличием достаточного количества подобластей модели устройства с различными магнитными и проводящими свойствами решаются численными, как правило, проекционно-сеточными методами, к которым относится и метод конечных элементов как модификация проекционных методов (Ритца, Галеркина и т.д.). Суть проекционных методов состоит в попытке аппроксимировать решение дифференциального уравнения конечной линейной комбинацией базисных (пробных) функций (функций формы), т.е. в том, чтобы найти «проекцию» или приближенное решение в конечномерном пространстве для непрерывного решения в бесконечномерном функциональном пространстве. Форма базисной функции и критерий вычисления коэффициентов линейной комбинации определяют проекционный метод. [1]
Дискретная модель непрерывной области строится следующим образом.
1. В области моделирования фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узлами расчетной сети, которой покрывается область моделирования.
2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая и определяется.
3. Область моделирования непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узлы, аппроксимируют форму области и представляют собой расчетную или триангуляционную сеть.
4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином. Они подбираются таким образом, чтобы вдоль границ элемента величина была непрерывна.
Метод конечных элементов основан на аппроксимации непрерывной функции (потенциала, температуры и т.д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, которые называются конечными элементами. В качестве функции элемента чаще всего используется полином. Классификацию КЭ можно провести в соответствии с порядком этих полиномов. Рассматриваются три группы элементов: симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы.[1]
Классическим описанием двумерного симплекс-элемента является треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, по одному в каждой вершине. Как правило, используется последовательная нумерация узлов против часовой стрелки, начиная от некоторого i-го узла, который выбирается произвольно. Узловые значения скалярной величины φφ обозначаются через
, а координаты трех узлов – через 
, что позволяет определить функции формы через координаты узлов расчетной сети.2.1 Численное решение
2.1.1 Постановка задачи расчета поля и силы магнитного поля исследуемой установки
Магнитная пружина представляет собой систему двух постоянных магнитов в подвижном корпусе из немагнитного материала. Корпус с одним из магнитов может перемещаться вдоль стального стержня, на верхнем конце которого зафиксирован второй магнит. Магнитная проницаемость и коэрцитивная сила постоянных магнитов равны µ=1,1, Нс=750
. Магнитная проницаемость стального стержня равна µ=500.В работе поставлены и решены следующие задачи для данного устройства с постоянными магнитами.
Расчет магнитостатического осесимметричного поля в кусочно-однородной изотропной области для различных значений воздушного зазора между постоянными магнитами. Построение эквипотенциальных линий магнитного поля.
Расчет силы магнитного поля на нижний магнит устройства методами программной системы конечно-элементного анализа ANSYS.
Исследование сходимости методов расчета силы магнитного поля в зависимости от величина воздушного пространства, окружающего магнитную систему.
Исследование сходимости методов расчета силы магнитного поля в зависимости от количества элементов модели.
Расчет силы магнитного поля на нижний магнит устройства методами программной системы конечно-элементного анализа ANSYS с использованием элементов, моделирующих затухание поля в дальней зоне (2d задача). Сравнение результатов.
Расчет магнитостатического трехмерного поля в кусочно-однородной трехмерной области. Расчет силы магнитного поля на нижний магнит устройства. Сравнение результатов.
Рис 2.1. Вид созданной КЭ модели, воздушный зазор между магнитами 4мм.
В силу осесимметричности модели задача решалась в плоской постановке. Для создания КЭ модели используется элемент Plane53 – восьмиузловой элемент, для которого как геометрия, так и неизвестная функция задаются полиномом второй степени. В каждом узле он имеет одну степень свободы z-составляющую магнитного векторного потенциала Az. Тот факт, что магнитный поток принимается не выходящим за области модели, подразумевает, что поток будет параллелен внешним границам модели. Это допущение возможно, если размеры моделируемого воздушного пространства, окружающего магнитную систему, достаточны для решения поставленной задачи. Это допущение моделируется “потокопараллельным” граничным условием. Задача решалась для различных значений длины воздушного зазора между постоянными магнитами от 1-го мм до 17мм. Вид созданной КЭ модели приведен на рис.2.1 при величине воздушного зазора равного 4 мм.
Данная модель имеет 41561 узел и 13600 элементов, обладает 41561 степенью свободы.
Рис.2.2 Эквипотенциальные линии магнитной индукции при величине воздушного зазора между постоянными магнитами равного 4мм.