Исследование операций (стр. 2 из 2)
2. Определить опорный план задачи.
3. Определить оптимальный план задачи.
4. Проверить решение задачи методом потенциалов.
Таблица 1
| №вар. | а1 | а2 | а3 | b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | с11 | с12 | с13 |
| 9 | 300 | 700 | 1000 | 200 | 100 | 400 | 600 | 200 | 23 | 40 | 10 |
| с14 | с15 | с21 | с22 | с23 | с24 | с25 | с31 | с32 | с33 | с34 | с35 |
| 12 | 21 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 15 | 30 | 32 | 25 | 50 |
Решение:
Составим таблицу транспортной задачи.
Таблица 2
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | a |
| A1 | |||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 300 |
| A2 | |||||
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 700 |
| A3 | |||||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 1000 |
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 |
Заметим, что сумма запасов превышает заявки. Это транспортная задача с избытком запасов. Для того чтобы привести к транспортной задаче с правильным балансом, введем фиктивный пункт назначения В5 с нулевыми перевозками. Добавим недостающее число заявок b5=700. Теперь количество заявок равно количеству запасов и равно 2000.
Заполним таблицу. Для этого не будем использовать метод северо-западного угла, т.к. он принесет много хлопот, будем заполнять клетки слева направо от заявок к запасам, исходя из наименьшей цены.
Таблица 3
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | В6 | a | |
| A1 | 300 | ||||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 0 | 300 | |
| A2 | 100 | 200 | 200 | 200 | |||
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 0 | 700 | |
| A3 | 200 | 300 | 500 | ||||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 0 | 1000 | |
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Это будет опорный план.
Количество заполненных ячеек – 6. r=m+n-1=3+6-1=8>6, значит, план является вырожденным, т.к. не хватает 2 базисных клеток. Добавим их, и сделаем план невырожденным. Для этого изменим в некоторых клетках количество запасов и заявок на малую величину _ EMBED Equation.3 ___
Таблица 4
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | В6 | a | |
| A1 | 300 | 300 | |||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 0 | ||
| A2 |  | 100  | 200 | | 200 | 200 | 700 |
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 0 | ||
| A3 | 200 | 300 | 500 | 1000 | |||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 0 | ||
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Проверим методом потенциалов:
Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).
Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0
Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.
В результате получим следующую таблицу:
Таблица 5
| β1=2 | β2=8 | β3=7 | β4=12 | β5=6 | β6=-13 | a | |
| α1=0 | 300 | 300 | |||||
| 23-2>0 | 40-8>0 | 10-7>0 | 12-12=0 | 21-6>0 | 0-(-13)>0 | ||
| α2=13 | 100 | 200 | 200 | 200 | 700 | ||
| 25-13-2>0 | 21-8-13=0 | 20-7-13=0 | 50-12-13>0 | 18-6-13=0 | 0-13+13=0 | ||
| α2=13 | 200 | 300 | 500 | 1000 | |||
| 15-13-2=0 | 30-13-8>0 | 32-13-7>0 | 25-13-2=0 | 50-13-6>0 | 0-13+13=0 | ||
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.
Тогда сумма всех перевозок:
L=200*15+10*21+200*20+300*12+300*25+200*18+200*0+500*0=23800
Ответ:
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | В6 | a | |
| A1 | 300 | ||||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 0 | 300 | |
| A2 | 100 | 200 | 200 | 200 | |||
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 0 | 700 | |
| A3 | 200 | 300 | 500 | ||||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 0 | 1000 | |
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Задание 4
Задача 54
Условие:
Определить экстремум целевой функции вида
( = (11(12+(22(22+(12(1(2+(1(1+(2(2
при условиях:
(11(1+(12(2<=>(1
(21(1+(22(2<=>(2 .
Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.
Составить функцию Лагранжа.
Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.
Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.
1. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.
2.
| № | b1 | b2 | c11 | c12 | c22 | extr | a11 | a12 | a21 | a22 | p1 | p2 | Знаки огр. 1 2 | |
| 31 | –7 | –2 | 4 | 1.5 | –2 | min | –2 | 1.5 | 4 | –3 | 18 | 9 | £ | ³ |
Решение:
1) Целевая функция: F=4x12-2x22 +1,5x1x2-7x1-2x2→min
Рассмотрим F’=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2→max
Ограничения g1(x) и g2(x): _ EMBED Equation.3 ___ →_ EMBED Equation.3 ___
Определим относительный максимум функции F’, для этого определим стационарную точку (х10, х20):
_ EMBED Equation.3 ___→ _ EMBED Equation.3 ___→ _ EMBED Equation.3 ___
2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции:
F’11 (х10, х20) = -8 < 0
F’12 (х10, х20) = -1,5
F’21 (х10, х20) = -1,5
F’22 (х10, х20) = 4
_ EMBED Equation.3 ___
Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки
3) Составляем функцию Лагранжа:
L(x,u)=F’(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=
=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2+u1(_ EMBED Equation.3 ___)+u2(_ EMBED Equation.3 ___)
Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:
_ EMBED Equation.3 ___ i=1;2
Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:
Система А:
_ EMBED Equation.3 ___
Система В:
_ EMBED Equation.3 ___
Перепишем систему А:
_ EMBED Equation.3 ___
4)Введем новые переменные
V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0
в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:
_ EMBED Equation.3 ___
Тогда
_ EMBED Equation.3 ___.
Значит , система В примет вид:
_ EMBED Equation.3 ___ - это условия дополняющей нежесткости.
5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.
Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы
_ EMBED Equation.3 ___
Затем создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min
Y’=-Y= -My1-My2→max.
Пусть свободные переменные: х1, х2, v1, v2, u1, u2;
а базисные y1, y2, w1, w2.
Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
_ EMBED Equation.3 ___
_ EMBED Equation.3 ___
Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:
| b | x1 | x2 | u1 | u2 | v1 | v2 | |||||||
| Y'/M | -9 | -9,5 | 2,5 | 0,5 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| 8,3125 | 1,1875 | 1,7813 | -2,375 | -4,75 | -1,188 | 0 | |||||||
| y1 | 7 | 8 | 1,5 | -2 | -4 | -1 | 0 | ||||||
| 0,875 | 0,125 | 0,1875 | -0,25 | -0,5 | -0,125 | 0 | |||||||
| y2 | 2 | 1,5 | -4 | 1,5 | 3 | 0 | -1 | ||||||
| -1,313 | -0,188 | -0,281 | 0,375 | 0,75 | 0,1875 | 0 | |||||||
| w1 | 18 | -2 | 1,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 1,75 | 0,25 | 0,375 | -0,5 | -1 | -0,25 | 0 | |||||||
| w2 | 9 | -4 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 3,5 | 0,5 | 0,75 | -1 | -2 | -0,5 | 0 | |||||||
| b | y1 | x2 | u1 | u2 | v1 | v2 | |||||||
| Y'/M | -0,69 | 1,1875 | 4,2813 | -1,875 | -3,75 | -0,188 | 1 | ||||||
| 0,6875 | -0,188 | -4,281 | 1 | 3,75 | 0,1875 | -1 | |||||||
| x1 | 0,875 | 0,125 | 0,1875 | -0,25 | -0,5 | -0,125 | 0 | ||||||
| 0,0917 | -0,025 | -0,571 | 0,1333 | 0,025 | -0,133 | ||||||||
| y2 | 0,688 | -0,188 | -4,281 | 1,875 | 3,75 | 0,1875 | -1 | ||||||
| 0,3667 | -0,1 | -2,283 | 0,5333 | 2 | 0,1 | -0,533 | |||||||
| w1 | 19,75 | 0,25 | 1,875 | -0,5 | -1 | -0,25 | 0 | ||||||
| 0,1833 | -0,05 | -1,142 | 0,2667 | 1 | 0,05 | -0,267 | |||||||
| w2 | 12,5 | 0,5 | 3,75 | -1 | -2 | -0,5 | 0 | ||||||
| 0,3667 | -0,1 | -2,283 | 0,5333 | 2 | 0,1 | -0,533 | |||||||
| b | y1 | x2 | y2 | u2 | v1 | v2 | |||||||
| Y'/M | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| x1 | 0,967 | 0,1333 | |||||||||||
| u1 | 0,367 | -0,1 | -2,283 | 0,5333 | 2 | 0,1 | -0,533 | ||||||
| w1 | 19,93 | 0,2667 | |||||||||||
| w2 | 12,87 | 0,5333 | |||||||||||
Т. о, u2=x2=y1=y2=v1=v2=0; x1=0,967; u1=0,367; w1=19,93; w2=12,87;
б) Условия дополняющей нежесткости выполняются (u2w2=0), значит решения исходной задачи квадратичного программирования существует.
ОТВЕТ: существует.
Курс лекций Плотникова Н. В.