Линейное программирование (стр. 2 из 8)
Рассмотрим на примере задачи фирмы Reddy Mikks. Небольшая фабрик изготовляет два вида красок: для наружных (E) и внутренних (I) работ. Продукция поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6т и 8т соответственно. Расходы A и B на производство 1т соответствующих красок приведены в таблице.
| Исходный продукт | Расход на тонну краски | Максимальный запас, т. | |
| краска E | краска I | ||
| A | 1 | 2 | 6 |
| B | 2 | 1 | 8 |
Суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1т. Спрос на I не превышает 2т. Оптовая цена за 1т краски E – 3000$, I – 2000$. Какое количество краски каждого вида фабрика должна производить, чтобы доход от реализации продуктов был максимальным?
Так как нужно определить объём производства каждого вида краски, переменными в модели являются:
xE – суточный объём производства краски E (в тоннах);
xI – суточный объём производства краски I (в тоннах).
Обозначив доход (в тыс. $) через
, можно дать математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения xE и xI, максимизирующие величину общего дохода 
Ограничения на расход исходных продуктов:
(для A) 
(для B)Ограничения на величину спроса на продукцию:
Потребуем выполнения условия неотрицательности переменных:
Получили математическую модель:
Определить суточные объёмы производства (в т.) краски I и E, при которых достигается
(целевая функция)при ограничениях
3.2. Графическое решение задачи ЛП
Построим область допустимых решений, в которой одновременно выполняются все ограничения. Искомое пространство решений – многоугольник ABCDEF. Пространство решений содержит бесконечное число точек, являющихся допустимыми решениями, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели z=3xE+2xI. На график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях
, что позволяет определить наклон целевой функции и направление её увеличения. На видно, что оптимальному решению соответствует точка C, являющаяся пересечением прямых 
Решив систему, получим
Тогда получаемый доход
тыс $.Оптимальному решению всегда соответствует одна из допустимых угловых точек пространства решений. Какая из этих точек окажется оптимальной, зависит от наклона прямой, представляющей целевую функцию (т.е. от коэффициентов целевой функции).
4. Алгебраический метод решения задач
Использование графического метода удобно при решении задач ЛП с двумя переменными. При большем их числе необходимо применение алгебраичского аппарата.
Процесс решения задачи ЛП симплекс-методом носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определённой последовательности выполняются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.
4.1. Стандартная форма линейных оптимизационных моделей
1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью. Исходное ограничение можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения (вычитая избыточную переменную из левой части).
Например,
Введём остаточную переменную s1>0, тогда
Правую часть равенства можно сделать неотрицательной, умножив обе части на –1.
2. Значения всех переменных модели неотрицательны.
Любую переменную yi, не имеющую ограничения в знаке, можно представить как разность двух неотрицательных переменных:
При любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение, т.к. если
, то 
, и наоборот. Это позволяет рассматривать 
как остаточную переменную, а 
– как избыточную.3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации.
Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.
Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения переменных в обоих случаях будут одинаковы.
4.2. Симплекс-метод
Общую идею симплекс-метода проиллюстрируем на примере модели для задачи фирмы Reddy Mikks. На исходная точка алгоритма – начало координат (т. A) – начальное решение. От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке (т. B или т. F). Её выбор зависит от коэффициентов целевой функции. Т.к. коэффициент при xE больше коэффициента при xI, а целевая функция подлежит максимизации, требуемое направление перехода соответствует увеличению xE (т. B). Далее указанный процесс повторяется для выяснения, существует ли другая экстремальная точка, соответствующая лучшему допустимому решению.
Правила выбора экстремальной точки:
1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей.
2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться.
Чтобы описать рассмотренные процедуры формальными способами, необходимо определить пространство решений и угловые точки алгебраически. Требуемые соотношения устанавливаются по таблице:
4.2.1. Представление пространства решений стандартной задачи ЛП.
Модель:
максимизировать целевую функцию
при ограничениях
На – пространство решений. Каждую точку можно определить с помощью
Для идентификации нужной точки воспользуемся тем, что при
ограничения модели эквивалентны равенствам, которые представляются соответствующими рёбрами пространства решений.Анализируя , заметим, что
можно упорядочить, исходя из того, какое значение (нулевое или ненулевое) имеет данная переменная в экстремальной точке.
Из таблицы выделим закономерности:
1. Стандартная модель содержит четыре уравнения и шесть неизвестных, поэтому в каждой из экстремальных точек (6–4) переменные должны иметь нулевые значения.