Лисп-реализация математических операций над комплексными числами (стр. 2 из 2)
2.2.1 Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а,
(а+bi) + (а-bi) = 2а.
Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z=a + bi = 0, если a=0, b=0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b=0, то a+bi=a - действительное число. Если а = 0,
, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.2.2.2 Вычитание комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит,
(а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.
2.2.3 Произведение комплексных чисел
Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число
z =(ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.
Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу:
(a + bi)(a - bi) = a2 + b2
2.2.4 Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:
.3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунках 1 – 4.
Используемые обозначения:
- N1 – первое комплексное число;
- N2 – второе комплексное число;
- A – действительная часть первого комплексного числа;
- C – мнимая часть первого комплексного числа;
- B – действительная часть второго комплексного числа;
- D – мнимая часть второго комплексного числа.
Рисунок 1 – Функциональная модель решения задачи для функции SUM_COMPLEX
Рисунок 2 – Функциональная модель решения задачи для функции SUBTR_COMPLEX
Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции MULT_COMPLEX
Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции DIV_COMPLEX
4. Программная реализация решения задачи
ЗАВОДИМ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(SETQ NUM1 0)
(SETQ NUM2 0)
(SETQ INPUT_STREAM (OPEN" D:\COMLEX_NUMBERS.TXT" :DIRECTION :INPUT));ЧИСЛАХРАНЯТЬСЯВФАЙЛЕВВИДЕСПИСКА (A B); ГДЕ A - ДЕЙСВИТЕЛЬНАЯЧАСТЬ, B - МНИМАЯ; СЧИТЫВАЕМЧИСЛАИЗФАЙЛА
(SETQ NUM1 (READ INPUT_STREAM))
(SETQ NUM2 (READ INPUT_STREAM))
(CLOSE INPUT_STREAM)
СУММАКОМПЛЕКСНЫХЧИСЕЛ
(DEFUNSUM_COMPLEX (N1 N2)
(LIST (+ (CAR N1) (CAR N2)) (+ (CADR N1) (CADR N2))))
РАЗНОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNSUBTR_COMPLEX (N1 N2)
(LIST (- (CAR N1) (CAR N2)) (- (CADR N1) (CADR N2))))
ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNMULT_COMPLEX (N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE (SPECIAL A))
(DECLARE (SPECIAL B))
(DECLARE (SPECIAL C))
(DECLARE (SPECIAL D))
(SETQ A (CAR N1))
(SETQ B (CADR N1))
(SETQ C (CAR N2))
(SETQ D (CADR N2))
(LIST (- (* A C) (* B D)) (+ (* A D)(* B C))))
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNDIV_COMPLEX (N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE (SPECIAL A))
(DECLARE (SPECIAL B))
(DECLARE (SPECIAL C))
(DECLARE (SPECIAL D))
(SETQ A (CAR N1))
(SETQ B (CADR N1))
(SETQ C (CAR N2))
(SETQ D (CADR N2))
(LIST (FLOAT (/ (+ (* A C) (* B D)) (+ (* C C) (* D D)))) (FLOAT (/ (- (* B C) (* A D)) (+ (* C C) (* D D))))))
ЗАПИСЫВАЕМРЕЗУЛЬТАТ
(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN" D:\RESULT.TXT" :DIRECTION :OUTPUT)) (DEFUNPRINT_OPERATIONS (N1 N2)
(MAPCAR 'SUM_COMPLEX N1 N2))
(PRINT (LIST 'NUMBER1 NUM1) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'NUMBER2 NUM2) OUTPUT_STREAM)
(PRINT OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'SUM (MAPCAR 'SUM_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'SUBTRACTION (MAPCAR 'SUBTR_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'MULTIPLICATION (MAPCAR 'MULT_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'DIVISION (MAPCAR 'DIV_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(TERPRI OUTPUT_STREAM)
(CLOSE OUTPUT_STREAM)
5. Пример выполнения программы
Пример 1.
Рисунок 5 – Входные данные
Рисунок 6 – Выходные данные
Пример 2.
Рисунок 7 – Входные данные
Рисунок 8 – Выходные данные
Пример 3.
Рисунок 9 – Входные данные
Рисунок 10 – Выходные данные
Заключение
Применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель для реализации математических операций над комплексными числами. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
Список использованных источников и литературы
1. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике. [Текст] / М.Я. Выгодский – М.: АСТ: Астрель, 2006. С. 509.
2. Дадаян, А.А. Алгебра и геометрия. [Текст] / А.А Дадаян, В.А.Дударенко. – М.: Минск, 1999. С. 342.
3. Камалян, Р.З. Высшая математика. [Текст] / Р.З.Камалян. – М.: ИМСИТ, 2004. С.310.
4. Комплексное число [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число.
5. Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В.Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.