Математические основы информатики (стр. 2 из 5)
u(i) - u(j) + m x(i,j) = p - (p+1) +m = m - 1, что и доказывает правомочность присутствия в модели ограничений (3).
Постановка оптимизационной задачи.
Критерий оптимальности для задачи коммивояжера имеет вид:
F(X)=
r(i,j) x(i,j) 
min . (5)Задача (1) - (5) называется задачей коммивояжера или задачей бродячего торговца.
С помощью рассмотренной математической модели описываются следующие прикладные задачи: задача минимизации времени переналадок уникального оборудования; задача развозки готовой продукции по потребителям; задача управления работой снегоочистительных машин и др.
Задача выполнимости булевых формул. Задача выполнимости булевых формул (SAT или ВЫП) — задача распознавания, важная для теории вычислительной сложности.
Экземпляром задачи SAT является булева формула, состоящая только из имен переменных, скобок и операций
(И), 
(ИЛИ) и 
(HE). Задача заключается в следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в формуле, значения ЛОЖЬ и ИСТИНА так, чтобы формула стала истинной.Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971-м году, проблема SAT NP-полна.
Чтобы четко сформулировать задачу распознавания необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. В своей книге Хопкрофт, Мотвани и Ульман предлагают использовать следующий алфавит: {«
», « », « », «(», «)», «x», «0», «1»}.При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления.
Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину N символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более N переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью
символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину 
символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз.Например, формула
примет вид 
.Семь мостов Кёнигсберга. Семь мосто́в Кёнигсберга существовали в Кёнигсберге (нынешнем Калининграде) в XVI—XX веках (см. Рис. 2). Взаимное расположение мостов натолкнуло математика Леонарда Эйлера на размышления, приведшие к возникновению теории графов.
 |
Рис. 2. Старинная карта Кёнигсберга. Буквами обозначены части города: А — Альтштадт, Б — Кнайпхоф, В — Ломзе, Г — Форштадт. Цифрами обозначены мосты (в порядке строительства): 1 — Лавочный, 2 — Зелёный, 3 — Рабочий, 4 — Кузнечный, 5 — Деревянный, 6 — Высокий, 7 — Медовый
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно.
В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).
На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:
• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды[3].
 |
Рис. 3. Упрощённая схема мостов Кёнигсберга. Значение букв и цифр — см. Рис.2 - комментарий к старинной карте Кёнигсберга
 |
Рис. 4. Граф кёнигсбергских мостов
Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации данных в Интернете.
Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Ф. Госри (англ. Francis Guthrie) в 1852 году.
Выяснить, можно ли всякую, расположенную на сфере карту, раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы в виде дуги, были раскрашены в разные цвета.
К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Не смотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить не используя компьютер.
Раскрашивая географическую карту естественно пользоваться по возможности меньшим количеством цветов, однако так, чтобы две страны, имеющие общую часть границы (не только общую точку), были окрашены по-разному. В 1852 году Френсис Гутри (Guthrie), составляя карту графств Англии, обратил внимание, что для такой цели вполне хватает четырех красок. Его брат, Фредерик, сообщил об этом наблюдении известному математику О. Де Моргану (DeMorgan), а тот – математической общественности. Точная формулировка гипотезы опубликована А. Кэли (Cayley, 1878).
Первое доказательство появилось год спустя и принадлежало В. Кемпе (Kempe). Одиннадцать лет спустя П. Хивуд (Heawood) обнаружил в нем ошибку[4]. За первым ошибочным доказательством последовало множество других. В этом отношении проблема четырех красок уступала лишь знаменитой проблеме Ферма. До середины XX века, хотя проблемой четырех красок занимались многие выдающиеся математики, положение с доказательством изменилось несущественно: идеи Дж. Д. Биркгофа позволили П. Франклину в 1913 году доказать гипотезу для карты с не более чем 25 странами. Позже это число было увеличено до 38.
В 1977 году доказательство гипотезы четырех красок было наконец получено К. Аппелем и У. Хакеном (Appel, Haken) и опубликовано в двух статьях. Значительную часть рутинных проверок выполнил компьютер, и это революционное нововведение в сложившуюся практику дедуктивных рассуждений в чистой математике служит основанием для некоторого естественного скептицизма по отношению к данному доказательству и по сей день. Сначала мы приведем точные формулировки, докажем теорему о пяти красках и укажем некоторые эквивалентные проблемы.
Проблемы раскраски карты на глобусе и плоскости эквивалентны. Действительно, в случае карты на сфере можно вырезать кусок внутренней области какой-либо страны; продырявленную сферу можно деформировать (растянуть) в плоскую область – представим, что карта сделана из тонкой резины. На плоской карте отверстие превратится в "океан", омывающий со всех сторон одну страну. Разумеется, длины границ, их форма, размеры стран подвергнутся при растяжении значительным изменениям, но сетка границ останется, добавится лишь растянутая граница прорезанного отверстия, внешняя граница океана. Ее можно убрать, то есть раскрасить океан так же, как и окруженную им страну. Такие деформации стран и их границ, очевидно, не меняют задачи раскраски. Ниже рассматривается плоская карта.
Начнем с того, что заменим задачу раскраски плоской карты на эквивалентную ей проблему, касающуюся плоских графов. Выберем столицу у каждой страны (то есть выберем по одной внутренней точке в каждой из стран) и соединим дугами столицы стран, имеющих общий сегмент границы. В результате получится так называемый плоский граф.
Определение 1. Графом G называется конечное множество вершин V(G) и конечное множество ребер R(G ), так что каждое ребро имеет своими концами две различные вершины. Граф называется плоским, если вершины являются точками плоскости, а ребра – ломаными линиями (составленными из отрезков) в этой же плоскости, имеющими своими концами вершины, не пересекающимися между собой и не включающими других вершин, кроме своих концов.